Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе

Пример задачи

Задача 1 Гипотенуза прямоугольного треугольника поделена высотой, проведенной к ней, на отрезки 5 и 13 см. Найдите длину этой высоты.

Решение Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 4:

Задача 2 Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решение Для начала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора (пусть катеты треугольника – это “a” и “b”, а гипотенуза – “c”):c² = a² + b² = 9² + 12² = 225. Следовательно, с = 15 см.

Теперь можно применить вторую формулу из Свойства 4, рассмотренного выше:

Видео

Признаки подобия прямоугольных треугольников

I. По острому углу

Если прямоугольные треугольники имеют по одинаковому острому углу, то они подобны.

II. По двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого, то эти треугольники подобны.

III. По катету и гипотенузе

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого, то эти треугольники подобны.

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Действительно. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, то сумма остальных углов равен 90°.

Свойство 2. Если катет прямоугольного треугольника лежит напротив угла в 30°, то он равен половине гипотенузы.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACB, у которого угол C прямой, а угол ∠ABC=30°. Приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник как показано на Рис.2.

Рассмотрим треугольник ADB. Так как ∠A=∠D=∠ABD=60°, то треугольник ABD равносторонний. Следовательно AB=AD=BD. Тогда . Конец доказательства.

Свойство 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против данного катета равен 30°.

Доказательство. Пусть у прямоугольного треугольника катет AC равен половине гипотенузы AB. Аналогично вышеизложенному приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник BCD(Рис.2). Получим равносторонний треугольник, где AB=AD=BD. Тогда ∠A=∠D=∠ABD=60°. Но ∠ABD=2∠ABС. Следовательно . Конец доказательства.

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Равносторонний треугольник — это треугольник, стороны которого, углы, высоты, медианы, оси симметрии и биссектрисы будут равны.

Такой треугольник является частным примером равнобедренного треугольника, но не наоборот.

Высоту в таком треугольнике можно найти с помощью следующей формулы:

Формула 7

h=a32 где а — сторона равностороннего треугольника.

Главным свойством, которым обладает высота равностороннего треугольника, является тот факт, что она равна медиане и биссектрисе:

$h=m=l=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

где h — высота,

m — медиана,

l — биссектриса,

а — сторона правильного равностороннего треугольника.

Теорема Пифагора

Эта теорема – ключик к решению многих задачек с участием прямоугольного треугольника.

Её доказал Пифагор в совершенно незапамятные времена, и с тех пор она принесла много пользы знающим её. А самое хорошее в ней то, что она – простая.

Итак, теорема Пифагора:

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание В прямоугольном треугольнике высота делит гипотенузу на отрезки см и см. Найти катеты треугольника. Решение Найдем квадрат длины высоты пользуясь формулой Рассмотрим прямоугольные треугольники и , и найдем в них стороны и : см см Ответ см см

ПРИМЕР 2

Задание В прямоугольном треугольнике катеты равны см и см. Найти высоту , опущенную на гипотенузу . Решение Пусть катет см, а см (рис. 2). Тогда по теореме Пифагора гипотенуза см Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е. Высоту найдем по формуле Ответ см

Теги