Онлайн калькулятор. Площадь прямоугольного параллелепипеда

Что такое площадь поверхности параллелепипеда

Определение

Параллелепипед — четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы. Частный случай этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.

В общем случае площадь — это численное значение, характеризующее размер двумерной геометрической фигуры.

Параллелепипед может существовать только в трех измерениях, поэтому для него вводится понятие площади поверхности. В геометрическом смысле площадь поверхности объемной фигуры является совокупностью площадей ее граней.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Видео

Нахождение площадей фигур

Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.

1. Площадь квадрата равна произведению его стороны самой на себя. Формула площади квадрата имеет вид S = a*a = a^2.
2. Прямоугольника – вычисляется с помощью умножения большей его стороны (длины) на меньшую его сторону (ширину). Формула площади прямоугольника имеет вид S = a*b.
3. Параллелограмма – найти сложнее и имеется несколько различных способов. Наиболее часто в математике применяются формулы для нахождения с помощью стороны и опущенной на неё высоты или двух сторон и синуса угла между ними. Записываются они следующим образом: S = a*h, S = a*b*sin (ab).

Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.

1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.

• S = a*a, отсюда в искомом случае S = 1600*1600 = 2 560 000 метров квадратных.

2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.

• S = a*b, следовательно в нашем варианте получится S = 90*200 = 18 000 метров квадратных.

3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.

Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:

• S = a*h = 300*250 = 75 000 метров квадратных.

Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:

• S = a*b*sin (ab) = 550*200*sin 30 = 110 000*0.5 = 55 000 квадратных метров.

Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.

Вычисление площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Кроме полной площади поверхности, в расчетах иногда необходимо вычислить площадь боковой поверхности, то есть совокупность площадей боковых граней, без учета оснований.

Для этого есть три взаимосвязанные формулы:

1. \(S_{бок}=P_{осн}\cdot h,\) где \(P_{осн}\) — периметр основания параллелепипеда; h — высота. На рисунке выше она равняется стороне, обозначенной как c.
2. \(S_{бок}=2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c\), где a, b и c — длины ребер, исходящих из любой вершины параллелепипеда.
3. \(S_{бок}=2\cdot c\cdot(a+b).\)

Найти площадь поверхности параллелепипеда

Параллелепипед – это призма, основанием которой служит параллелограмм. В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны. Диагонали его пересекаются в одной точке, которая лежит на оси симметрий, и делятся ею пополам.

Виды параллелепипедов:

• Прямой параллелепипед – параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны к основаниям.
• Наклонный параллелепипед – параллелепипед, боковые рёбра которого не перпендикулярны к основаниям.
• Прямоугольный – прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники.

Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей её боковых поверхностей и площади основания:

S = 2 cdot (a cdot b + b cdot c + a cdot c)

Примеры решений

Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его стороны равны 2, 3, 4 см Посмотреть решение Дано:  a = 2 см  b = 3 см  c = 4 см Решение: По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:  S = 2 cdot ( a cdot b + a cdot c + b cdot c) S = 2 cdot ( 2 cdot 3 + 2 cdot 4 + 3 cdot 4) = 52 см^2 Ответ:  S = 52 см^2 Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если площадь основания равна 18 см, сторона при основании равна 3 см, а боковая сторона — 5 см. Посмотреть решение Дано:  S = 18 см^2  a = 3 см  c = 5 см Решение:  S = a cdot b Находим сторону b:  b = frac{s}{a} = 6 см Находим площадь:  S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)  S = 2 cdot (3 cdot 6 + 3 cdot 5 + 5 cdot 6) Ответ:  S = 126 см^2 Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если площадь боковой стороны равна 30 см, а стороны при основании равны 1 см и 2 см. Посмотреть решение Дано:  S = 18 см^2 a = 1 см  b = 2 см Решение: Находим сторону c: S = 2 cdot c cdot (a + b)  , отсюда:  c = frac{S}{ 2 cdot (a + b) } = 3 см  По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь: Находим площадь:  S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)  S = 2 cdot (1 cdot 2 + 1 cdot 3 + 2 cdot 3) = 22 см^2 Ответ:  S = 22 см^2 Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его объём равен 20 см², а стороны при основании равны по 2 см. Посмотреть решение Дано:  V = 20 см^2 a = 2 см  b = 2 см Решение: Найдем сторону c: V = a cdot b cdot c  , отсюда:  c = frac{V}{(a cdot b )} = 5 см $ Находим площадь:  S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)  S = 2 cdot (2 cdot 2 + 2 cdot 5 + 2 cdot 5) = 48 см^2 Ответ:  S = 48 см^2 Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна 6 см, а стороны при основании равны 2 и 4 см. Посмотреть решение Дано:  d = 6 см  a = 2 см  b = 4 см Решение: Находим сторону c:  d^2 = a^2 cdot b^2 cdot c^2  , отсюда:  c = sqrt{ (d^2 – a^2 – b^2) } = sqrt{16} = 4 см По формуле для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь:  S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)  S = 2 cdot (2 cdot 4 + 2 cdot 4 + 4 cdot 4) = 64 см^2 Ответ S = 64 см^2

Теги