Содержание материала
Определение взаимно простых чисел
Сначала определимся, что значит простое число.
Главное свойство простых чисел в том, что простое число делится только на единицу и на само себя.
- Например, 13 является простым, так как нацело делится только на 1 и на 13.
Таких чисел немного, большинство все-таки можно разделить на другие числа. В простых числах самое важное — это деление нацело. Дробные частные и деление с остатком не рассматриваем.
Понятие взаимно простых чисел можно применить для двух целых чисел или для большего количества. Сформулируем, какие числа называются взаимно простыми.
| Взаимно простые числа Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице — то есть НОД (a, b) = 1. |
Проще говоря, взаимно простые числа — это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.
А теперь вспомним определение НОД.
Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать так: НОД (a, b).
Числа, которые содержат больше двух множителей, то есть делятся на несколько чисел, называют сложными . Сложные числа состоят из перемноженных простых.
Наибольший общий делитель взаимно простых чисел — это единица, что следует из определения взаимно простых чисел.
Из определения взаимно простых чисел можно сделать вывод, что у двух взаимно простых чисел может быть только один положительный общий делитель, который равен единице. А всего общих делителей у двух взаимно простых чисел два — это 1 и -1.
Приведем примеры взаимно простых чисел.
- Числа 13 и 16 взаимно простые потому, что их положительный общий делитель — единица, что подтверждает взаимную простоту чисел 13 и 16.
Заметим, что два простых числа всегда являются взаимно простыми. Однако, два числа не обязательно должны быть простыми, чтобы быть взаимно простыми. Вот такая математика в 5 классе. И еще раз: либо одно из них, либо они оба могут быть составными и при этом являться взаимно простыми. Приведем пример.
- Два составных числа 8 и -9 являются взаимно простыми. Как доказать что числа взаимно простые? Объясним:
Сначала найдем НОД этих чисел, то есть запишем все делители чисел 8 и -9.
Делители 8: ±1, ±2, ±4, ±8.
Делители -9: ±1, ±3, ±9.
Из этого следует, НОД (8, -9) = 1, поэтому, по определению 8 и -9 — два взаимно простых числа.
- А вот числа 45 и 500 нельзя назвать взаимно простыми, так как у них есть положительный общий делитель, отличный от единицы — это число 5. Числа 3 и -201 тоже не взаимно простые, так как у них общий положительный делитель — тройка.
На математике в 5 и 6 класса часто встречаются задания, в которых нужно доказать, что конкретные целые числа являются взаимно простыми. Из чего обычно состоит такое доказательство:
- вычисление наибольшего общего делителя заданных чисел,
- проверка НОД на его равенство единице.
Перед вычислением НОД можно заглянуть в таблицу простых чисел и проверить, вдруг исходные целые числа можно назвать простыми. Тогда решение будет проще, так как мы знаем, что НОД простых чисел равен единице.
Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.
Повторим еще раз. Что значит взаимно простые числа? Это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.
Видео
Составные цифры
Два числа относительно друг друга будут взаимно простыми всегда. Аналогичные отношения формируются между составными цифрами. Возможно, что из пары m или n одно — составное, а другое — простое, либо две цифры составные (натуральные числа, у которых есть больше двух делителей). Чтобы подтвердить каноническое утверждение, рассматривается пара из 9 и 88. Её простота доказывается путём вычисления НОД.
Разложение 88: ±1, ±2, ±4, ±8±1, ±2, ±4, ±8. НОД (9): ±1, ±3, ±9±1, ±3, ±9. Из двух вариантов выбираются общие цифры, а из списка определяется самая большая. Из полного перечня подходит единица.
На практике часто определяется ВПЧ двух целых цифр. Алгоритм решения задач заключается в поиске НОД, его сравнении с единицей. Чтобы быстро и правильно найти пару, используется таблица, в которой есть числа, кратные одному и сами себе.
Описание нескольких групп признаков делимости (ПД) неизвестной а:
- ПД для 2, 4 вычисляется по последней цифре (самый маленький делитель равен двум).
- ПД на 3, 37 зависит от суммы цифр, из которых состоит число.
- Признак для 7 определяется после нахождения множителя, попарной суммы либо выполнения иных действий над цифрами а.
- ПД для 6, 12, 14. Основывается на иных признаках.
Разложение на простые множители
Например, разложим на простые множители число $180$:
$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$
Воспользуемся свойством степеней, тогда получим,
$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$
Такая запись разложения на простые множители называется канонической, т.е. для того чтобы разложить в канонической форме число на множители необходимо воспользоваться свойством степеней и представить число в виде произведения степеней с разными основаниями
Решение примеров
Являются ли взаимно простыми числа 21 и 2421 и 24 не являются взаимно простыми числами, потому что имеют множитель равный 3. ( 21 = 3 х 7, 24 = 2 х 2 х 2 х 3 ).
Являются ли взаимно простыми числа 13 и 1113 и 11 взаимно простые числа, потому что это простые числа (свойство 2).
Являются ли взаимно простыми числа 17 и 1817 и 18 взаимно простые числа, потому что это два последовательных числа (свойство 3).
Связанные определения
- Если в наборе чисел любые два взаимно просты, то такие числа называются попарно взаимно простыми. Для двух чисел понятия «взаимно простые» и «попарно взаимно простые» совпадают.
Примеры
- 8, 15 — не простые, но взаимно простые.
- 6, 8, 9 — взаимно простые числа, но не попарно взаимно простые.
- 8, 15, 49 — попарно взаимно простые.
Пример
Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282
Определение начинается с разложения на множители:
1729=7*13*19
282=2*3*47
Обратите внимание, что для разложения таких чисел придется использовать метод перебора. Согласно таблице простых чисел каждый множитель проверяется, после чего деление продолжается. Подбирать множители нужно от маленьких чисел к большим, то есть от 2 и выше.
Как видно, общих множителей у двух чисел нет. Это значит, что числа можно считать взаимно простыми. Не нужно пугаться, если среди множителей попадаются достаточно большие числа. Среди учеников существует миф, что простые числа редко бывают больше 20, это не так. Просто такие числа проще использовать в задачах, чтобы набить руку. На экзамене или в контрольной сложность числа для разложения может быть абсолютно любой
Взаимно простые числа
Взаимно простыми числами называются числа, наибольший общий делитель которых равен единицы. Доказать факт того, что числа являются взаимно простыми можно только с помощью разложения чисел на простые множители. Если у чисел нет общих множителей, кроме 1, то они будут взаимно простыми.
При этом сами по себе взаимно простые числа могут быть сложными. Важен именно НОД двух чисел.
Нужно учитывать, что взаимно простыми могут быть не только два числа, но и 3, 4, 10 – любое множество чисел может быть взаимно простым.
Определение попарно простых чисел
Через взаимно простые числа можно дадим определение попарно простых чисел.
Попарно простые числа — это последовательность целых чисел a 1 , a 2 , …, a k , где каждое число будет взаимно простым по отношению к остальным.
Приведем пример попарно простых чисел.
- 14, 9, 17, и −25 — попарно простые, так как пары чисел 14 и 9, 14 и 17, 14 и −25, 9 и 17, 9 и −25, 17 и −25 представляют из себя взаимно простые числа.
Попарно простые числа всегда взаимно простые.
При этом, взаимно простые числа далеко не всегда могут быть попарно простыми. Подтвердим на примере. 8, 16, 5 и 15 не являются попарно простыми, так как числа 8 и 16 не взаимно простые. Однако, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые. Таким образом, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые, но не попарно простые.
Остановимся на понятии совокупности некоторого количества простых чисел. Эти числа всегда являются и взаимно простыми и попарно простыми. Например, 71, 443, 857, 991 — и попарно простые, и взаимно простые.
Когда речь идет о двух целых числах, то для них понятия «попарно простые» и «взаимно простые» совпадают.