Как найти производную функции, примеры решения

Онлайн-калькулятор

Пусть задана функция $y=f\left(x\right)$y=f(x). Выберем любую точку $x_{}$x​ из области определения $D$D этой функции. Приращение аргумента функции в точке $x_{}$x​: $\Delta x$Δx такое, что $x_{}+\Delta x\in D$x​+Δx∈D. Тогда $\Delta y=f(x_{}+\Delta x)-f\left(x_{}\right)$Δy=f(x​+Δx)−f(x​).

Пример

Пусть $f\left(x\right)=x^3$f(x)=x3, $x_{}=5$x​=5, $\Delta x=1$Δx=1. Вычислим $\Delta y$Δy: $\Delta y=f(x_{}+\Delta x)-f\left(x_{}\right)=(5+1{)}^3-5^3=216-125=91$Δy=f(x​+Δx)−f(x​)=(5+1)3−53=216−125=91

Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike«>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x ³ · cos x; g(x) = (x ² + 7x − 7) · e ^x .

Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’(x) = (x ³ · cos x)’ = (x ³)’ · cos x + x ³ · (cos x)’ = 3x ² · cos x + x ³ · (− sin x) = x ² · (3cos x − x · sin x)

У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’(x) = ((x ² + 7x − 7) · e ^x )’ = (x ² + 7x − 7)’ · e ^x + (x ² + 7x − 7) · (e ^x )’ = (2x + 7) · e ^x + (x ² + 7x − 7) · e ^x = e ^x · (2x + 7 + x ² + 7x −7) = (x ² + 9x) · e ^x = x(x + 9) · e ^x .

Ответ: f ’(x) = x ² · (3cos x − x · sin x); g ’(x) = x(x + 9) · e ^x .

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Видео

Односторонние производные

Правой производной функции $f\left(x\right)$f(x) в точке $x_{}$x​ называется предельное значение отношения $\Delta y$Δy к $\Delta x$Δx при $\Delta x\to +$Δx→+, если данный предел существует. Левой производной называется предельное значение того же отошения при $\Delta x\to -$Δx→− Обозначается как $f_{+}^{\prime }\left(x_{}\right)$f+′​(x​) и $f_{-}^{\prime }\left(x_{}\right)$f−′​(x​).

$f_{+}^{\prime }\left(x_{}\right)=\underset{}{<mi>lim</mi>}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{}{<mi>lim</mi>}\frac{f(x_{}+\Delta x)-f\left(x_{}\right)}{\Delta x}$f+′​(x​)=Δx→+lim​ΔxΔy​=Δx→+lim​Δxf(x​+Δx)−f(x​)​

$f_{-}^{\prime }\left(x_{}\right)=\underset{}{<mi>lim</mi>}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{}{<mi>lim</mi>}\frac{f(x_{}+\Delta x)-f\left(x_{}\right)}{\Delta x}$f−′​(x​)=Δx→−lim​ΔxΔy​=Δx→−lim​Δxf(x​+Δx)−f(x​)​

Напомним, что $\Delta x\to +$Δx→+ и $\Delta x\to -$Δx→− обозначают соответственно: $\Delta x\to$Δx→, $\Delta x>$Δx> и $\Delta x\to$Δx→, Δx<

Правую и левую производные называют односторонними.

Из того, что $f\left(x\right)$f(x) имеет производную в точке $x_{}$x​, следует: $f\left(x\right)$f(x) имеет в этой точке равные правую и левую производные. Из существования односторонних производных в точке не следует, что в ней имеется производная.

Пример

Рассмотрим функцию $f\left(x\right)=\mid x\mid$f(x)=∣x∣. Возьмем $x_{}=$x​= Тогда $f_{+}^{\prime }\left(\right)=1$f+′​()=1, $f_{-}^{\prime }\left(\right)=-1$f−′​()=−1. Правая и левая производные существуют в точке $x_{}=$x​=, но их значения не одинаковы, поэтому производной в $x_{}$x​ = 0 не существует.

Теги