Содержание материала
Определения
Равнобедренный треугольник – это треугольник, две стороны которого равны между собой. Третья сторона зовется основанием, углы при основании равны.
Биссектриса треугольника – это отрезок, который делить угол треугольника на две равные части. Каждая точка биссектрисы равноудалена от каждой из сторон треугольника, т.е. если из любой точки биссектрисы опустить перпендикуляры на каждую из сторон угла, то эти перпендикуляры окажутся равны между собой. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности и зовется инцентром треугольника.
Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла
Ленивые математики как обычно в двух строчках спрятали четыре.
Итак, что же значит, «Биссектриса – геометрическое место точек»? А это значит, что выполняются сразу два утверждения:
- Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
- Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе.
Видишь разницу между утверждениями 1 и 2? Если не очень, то вспомни Шляпника из «Алисы в стране чудес»: «Так ты еще чего доброго скажешь, будто «Я вижу то, что ем» и «Я ем то, что вижу», — одно и то же!»
Итак, нам нужно доказать утверждения 1 и 2, и тогда утверждение: «биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла» будет доказано!
Почему же верно 1?
Возьмём любую точку на биссектрисе и назовём её \( \displaystyle A. \)
Опустим из этой точки перпендикуляры \( \displaystyle \) AB и \( \displaystyle AC \) на стороны угла.
А теперь… Приготовились вспоминать признаки равенства прямоугольных треугольников! Если ты их подзабыл, то загляни в раздел «Прямоугольный треугольник».
Итак… Два прямоугольных треугольника: \( \displaystyle AOC \) и \( \displaystyle AOB. \) У них:
Видео
Признаки равнобедренного треугольника
- Если в треугольнике два угла равны.
- Сумма углов треугольника 180°.
- Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
- Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
- Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.
Полезные свойства
Математики вывели пять полезных свойств для биссектрисы в равнобедренном Δ.
К ним относятся следующие:
- Свойство биссектрисы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника: она есть медиана и высота.
- При проведении из вершин, образующих основание, углы, образованные ими, эквивалентны между собой.
- Если провести биссектрису TT’ из вершины при основании, то будет выполняться следующее тождество: TU/TV=UT’/T’V (отношение стороны к основанию эквивалентно частному из двух отрезков, полученных при построении).
- Длина биссектрисы, проведенной к основанию, эквивалентна корню второй степени из квадрата боковой стороны без четвертой части квадрата основания: UU’=[m 2 — (¼)*n 2 ](^½), где m и n — длина боковой стороны и основания.
- Через точку пересечения проходит круг, касающийся вершин основания.
Следует отметить, что в равностороннем треугольнике каждая биссектриса будет отсекать равные углы из каждой вершины.
В нем можно провести их всего три, а в равнобедренном — 2 высоты, 2 медианы, 2 биссектрисы, а также одну к основанию.
Доказательство теорем о совпадении биссектрисы с медианой и высотой в равнобедренном треугольнике
Почему в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой? Как это доказать?
Смотри: у \( \triangle ABL \) и \( \triangle CBL \) равны стороны \( AB \) и \( BC \), сторона \( BL \) у них вообще общая и \( \angle 1=\angle 2\). (\( BL \) – биссектриса!)
И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними.
Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что \( \triangle ABL=\triangle CBL \), а значит \( AL \)= \( CL \) и \( \angle 3=\angle 4 \).
\( AL \) = \( CL \) – это уже хорошо – значит, \( BL \) оказалась медианой.
А вот что такое \( \angle 3=\angle 4 \)?
Тест по теме
/10 Вопрос 1 из 10 Равнобедренный треугольник – это …Треугольник, две стороны которого равны между собойТреугольник, две стороны которого неравны между собойТреугольник, три стороны которого равны между собойНет верного ответаНачать тест
