Значение производной в точке. Онлайн калькулятор с примерами

Введите график функции

Исследуем график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x).

Примеры

С применением степени (квадрат и куб) и дроби(x^2 — 1)/(x^3 + 1) Квадратный кореньsqrt(x)/(x + 1) Кубический кореньcbrt(x)/(3*x + 2) С применением синуса и косинуса2*sin(x)*cos(x) Арксинусx*arcsin(x) Арккосинусx*arccos(x) Применение логарифмаx*log(x, 10) Натуральный логарифмln(x)/x Экспонентаexp(x)*xТангенсtg(x)*sin(x) Котангенсctg(x)*cos(x) Иррациональне дроби(sqrt(x) — 1)/sqrt(x^2 — x — 1) Арктангенсx*arctg(x) Арккотангенсx*arсctg(x) Гиберболические синус и косинус2*sh(x)*ch(x) Гиберболические тангенс и котангенсctgh(x)/tgh(x) Гиберболические арксинус и арккосинусx^2*arcsinh(x)*arccosh(x) Гиберболические арктангенс и арккотангенсx^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание. Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x».

Верно ли равенство «f(−2) = −18»?

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x» числовое значение «x = −2» и сопоставить с тем, что получится при расчетах. Важно!

Когда подставляете отрицательное число вместо «x», обязательно заключайте его в скобки.

Не забывайте использовать правило знаков.

С помощью расчетов мы получили «f(−2) = 12».

Это означает, что «f(−2) = −18» для функции «f(x) = 2 − 5x» не является верным равенством.

Видео

Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале

Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает $max y$ (наибольшее значение) и $min y$ (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале $(—6;6)$.

Если мы возьмем интервал $[1;6)$, то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при $x$, равном $6$, если бы $x=6$ принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике $5$.

На графике $6$ наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала $(—3;2]$, а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

1. Точка x называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x).
2. Точка x называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x известно, что f’(x) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x) ≥ 0 или f’(x) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Теги