Содержание материала
Геометрическое определение
|BD| – длина дуги окружности с центром в точке A. α – угол, выраженный в радианах.
- Тангенс (tg α)
- – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB|.
- Котангенс (ctg α)
- – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC|.
, где n — целое. , где n — целое.
Видео
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x, нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга, . При этом получаются следующие формулы.
при . при . где Bn – числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения: ; ; где . Либо по формуле Лапласа: 
Cинус, косинус, тангенс, котангенс угла в прямоугольном треугольнике
Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла?
Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.
Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Всё верно, гипотенуза и катеты.
Гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \( AC\))
Катеты – это две оставшиеся стороны \( AB\) и \( BC\) (те, что прилегают к прямому углу).
Причём, если рассматривать катеты относительно угла \( \angle BAC\), то катет \( AB\) – это прилежащий катет, а катет \( BC\) — противолежащий.
Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?
Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.
В нашем треугольнике \( \sin \beta =\frac{BC}{AC}\).
Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.
В нашем треугольнике \( \cos \beta =\frac{AB}{AC}\).
Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).
В нашем треугольнике \( tg\beta =\frac{BC}{AB}\).
Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
В нашем треугольнике \( ctg\beta =\frac{AB}{BC}\).
Эти определения необходимо запомнить!
Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе.
А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:
Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;
Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.
В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле).
Не веришь?
Тогда убедись, посмотрев на рисунок:
Рассмотрим, к примеру, косинус угла \( \beta \).
По определению, из треугольника \( ABC\): \( \cos \beta =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).
Но ведь мы можем вычислить косинус угла \( \beta \) и из треугольника \( AHI\): \( \cos \beta =\frac{AH}{AI}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\).
Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.
Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!
Для треугольника \( ABC\), изображённого ниже на рисунке, найдём \( \sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\( \begin{array}{l}\sin \ \alpha =\frac{4}{5}=0,8\\\cos \ \alpha =\frac{3}{5}=0,6\\tg\ \alpha =\frac{4}{3}\\ctg\ \alpha =\frac{3}{4}=0,75\end{array}\)Ну что, уловил?
Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \( \beta \).
Ответы: \( \sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\frac{4}{3}\).
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от до .
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
График функции котангенс (y=сtg x)
Построим график функции котангенс на интервале [0; π). Выберем контрольные точки:
 |
Взяв π≈3, высислим значения x, отметим эти точки на координатной плоскости XOY и проведем через них плавную кривую (Рис. 5)
 |
Функция котангенс периодичная (свойство 2) с основным периодом π. Тогда на графике функции котангенс, ветвь на рисунке Рис.5 повторяется бесконечное число раз от -∞ до ∞:
 |
В точках 
функция имеет разрыв. Каждая прямая вида 
является вертикальной асимптотой графика функции котангенс.