Содержание материала
Квадрат, свойства и формулы, площадь и периметр
Квадрат – это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Квадрат (понятие, определение), диагональ квадрата
Формулы квадрата. Площадь квадрата. Периметр квадрата
Видео
Площадь квадрата
Квадрат это тот же прямоугольник, но у которого все стороны равны. Например, на следующем рисунке представлен квадрат со стороной 3 см. Фраза «квадрат со стороной 3 см» означает, что все стороны равны 3 см
Площадь квадрата вычисляется таким же образом, как и площадь прямоугольника — длину умножают на ширину.
Вычислим площадь квадрата со стороной 3 см. Умножим длину 3 см на ширину 3 см
3 × 3 = 9
В данном случае требовалось узнать сколько квадратов со стороной 1 см содержится в исходном квадрате. В исходном квадрате содержится девять квадратов со стороной 1 см. Действительно, так оно и есть. Квадрат со стороной 1 см, входит в исходный квадрат девять раз:
Умножив длину на ширину, мы получили выражение 3 × 3, а это есть произведение двух одинаковых множителей, каждый из которых равен 3. Иными словами выражение 3 × 3 представляет собой вторую степень числа 3. А значит процесс вычисления площади квадрата можно записать в виде степени 32.
Поэтому вторую степень числа называют квадратом числа. При вычислении второй степени числа a, человек тем самым находит площадь квадрата со стороной a. Операцию возведения числа во вторую степень по другому называют возведением в квадрат.
Как найти площадь квадрата?
[ad3]Вычисление площади данной фигуры можно просто и легко объяснить на примере:
- предположим, что сторона квадрата равна 8 метрам;
- для подсчета площади любого прямоугольника нужно умножить значение одной его стороны на другую (8 х 8 = 64);
- поскольку мы умножаем метры на метры, то в результате получаем квадратные метры (м2).
Площадь геометрической фигуры
Площадь геометрической фигуры — это число, которое характеризует размер данной фигуры.
Следует уточнить, что речь в данном случае идёт о площади на плоскости. Плоскостью в геометрии называют любую плоскую поверхность, например: лист бумаги, земельный участок, поверхность стола.
Площадь измеряется в квадратных единицах. Под квадратными единицами подразумевают квадраты, стороны которых равны единице. Например, 1 квадратный сантиметр, 1 квадратный метр или 1 квадратный километр.
Измерить площадь какой-нибудь фигуры означает выяснить сколько квадратных единиц содержится в данной фигуре.
Например, площадь следующего прямоугольника равна трём квадратным сантиметрам:
Это потому что в данном прямоугольнике содержится три квадрата, каждый из которых имеет сторону, равную одному сантиметру:
Справа представлен квадрат со стороной 1 см (он в данном случае является квадратной единицей). Если посмотреть сколько раз этот квадрат входит в прямоугольник, представленный слева, то обнаружим, что он входит в него три раза.
Следующий прямоугольник имеет площадь, равную шести квадратным сантиметрам:
Это потому что в данном прямоугольнике содержится шесть квадратов, каждый из которых имеет сторону, равную одному сантиметру:
Допустим, потребовалось измерить площадь следующей комнаты:
Определимся в каких квадратах будем измерять площадь. В данном случае площадь удобно измерить в квадратных метрах:
Итак, наша задача состоит в том, чтобы определить сколько таких квадратов со стороной 1 м содержится в исходной комнате. Заполним этим квадратом всю комнату:
Видим, что квадратный метр содержится в комнате 12 раз. Значит, площадь комнаты составляет 12 квадратных метров.
Свойства квадрата:
1. Длины всех сторон равны.
Рис. 3. Квадрат
AB = BC = CD = AD
2. Противоположные стороны квадрата параллельны.
Рис. 4. Квадрат
AB||CD, BC||AD
3. Все углы квадрата прямые. Каждый из них равен 90°.
Рис. 5. Квадрат
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
4. Сумма углов квадрата равна 360 градусам.
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.
5. Диагонали квадрата равны между собой.
Рис. 6. Квадрат
AC = BD
6. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 
Рис. 7. Квадрат
AC ┴ BD
7. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
Рис. 8. Квадрат
BO = OD = AO = OC
8. Угол между диагональю и стороной квадрата равен 45 градусам.
Рис. 9. Квадрат
∠BCA = ∠ACD = ∠DAC = ∠CAB = 45°
9. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов и делят углы пополам.
Рис. 10. Квадрат
∠ABD = ∠DBC = ∠BCA = ∠ACD = ∠CDB = ∠BDA = ∠DAC = ∠CAB = 45°
10. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.
Обе диагонали делят квадрат на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника.
Рис. 11. Квадрат
△ABD = △CBD = △ABC = △ACD,
△AOB = △BOC = △COD = △AOD
11. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности.
Рис. 12. Квадрат