Классическая формула вероятности. Что такое вероятность и как ее посчитать

Что такое вероятность простыми словами

Вся наша жизнь состоит из случайных событий, которые могут либо произойти, либо нет. Например, вы сегодня идете на экзамен, по которому лучше остальных знаете один билет, достанется он именно вам или нет – случайность. Так как билетов всего 20, а вам нужно вытянуть всего 1, мы можем определить вероятность, с которой вам достанется желаемый билет. Эта вероятность будет составлять 1 шанс к 20 возможным, то есть 1 к 20 или 1/20 или 0,05.

Формула вероятности

Формула для вычисления вероятности события выглядит следующим образом:где P – вероятность события;

m —  число вариантов, которые нас устраивают (число благоприятных исходов);

n – общее количество вариантов (возможных исходов).

Логично, что число благоприятных исходов всегда меньше, чем общее количество исходов, т.е. меньшее число мы делим на большее. Таким образом вероятность всегда находится в диапазоне от 0 до 1.

Приведем еще пример.

Видео

Вероятность: логика перебора

 В кармане у Пети было монеты по  рублей и  монеты по  рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то  монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами  — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора .

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: ,  (это пятирублёвые),  (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от  до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами  и  не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора . Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях  и  — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

…

А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — , а затем:

.

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:

.

Всего  возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами  и  не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация нам не подходит — она означает, что фишки  и  обе оказались в не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только , либо только . Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего  благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна .

Ответ: .

Зависимые события

Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой \( 3\) двери на выбор.

Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры \( 3\), а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.

Но каков этот шанс?

Дверей \( 3\), нужная дверь \( 1\). Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: \( \frac{1}{3}\). То есть один раз из трех ты точно угадаешь.

Мы хотим узнать, позвонив \( 1\) раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:

1. Ты позвонил в 1-ю дверь2. Ты позвонил в 2-ю дверь3. Ты позвонил в 3-ю дверь

А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:

а. За 1ой дверьюб. За 2ой дверьюв. За 3ей дверью

Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком – когда не совпадает.

Как видишь, всего возможно \( 9\) вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.

А благоприятных исходов всего\( 3\). То есть \( 3\) раза из \( 9\) ты угадаешь, позвонив в дверь \( 1\) раз, т.е. \( \frac{3}{9}=\frac{1}{3}\).

Это и есть вероятность – отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.

Определение – это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:

Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за \( \displaystyle {{N}_{б}}\) – количество благоприятных исходов, а за \( N\) – общее количество исходов.\( \displaystyle p=\frac{{{N}_{б}}}{N}\)Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на \( 100\%\):\( \displaystyle p=\frac{{{N}_{б}}}{N}\cdot 100\%\)Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». 

Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие – это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.

Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.

Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?

Если ты подумал, что \( \displaystyle \frac{1}{3}\), то это ошибка. Давай разбираться.

У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:

1. Позвонить в 1-ую дверь2. Позвонить во 2-ую дверь

Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):

а. Друг за 1-ой дверьюб. Друг за 2-ой дверью

Давай снова нарисуем таблицу:

Как видишь, всего есть \( 4\) варианта, \( 2\) из которых – благоприятны. То есть вероятность равна \( \displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).

А почему не \( \displaystyle \frac{1}{3}\)?

Рассмотренная нами ситуация – пример зависимых событий. Первое событие – это первый звонок в дверь, второе событие – это второй звонок в дверь.

А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других?

Правильно, \( 0\%\).

Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые? Верно, бывают.

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается «шесть факториал».

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

В нашем случае .

Парадокс мальчика и девочки

Это приводит нас к другому известному парадоксу, который, как правило, всех озадачивает, — парадоксу мальчика и девочки. Единственное из того, о чём я сегодня пишу, что не связано непосредственно с играми (хотя предполагаю, что я просто должен подтолкнуть вас на создание соответствующей игровой механики). Это скорее головоломка, но интересная, и, чтобы её решить, нужно понимать условную вероятность, про которую мы говорили выше.

Задача: у меня есть друг с двумя детьми, хотя бы один ребёнок из них — девочка. Какова вероятность того, что второй ребёнок тоже девочка? Давайте предположим, что в любой семье шансы рождения девочки и мальчика составляют 50/50, и это справедливо для каждого ребёнка.

На самом деле, в сперме некоторых мужчин больше сперматозоидов с X-хромосомой или Y-хромосомой, поэтому вероятность немного меняется. Если вы знаете, что один ребёнок — девочка, вероятность появления второй девочки немного выше, кроме того, есть и другие условия, например, гермафродитизм. Но для решения этой задачи мы не будем принимать это во внимание и предположим, что рождение ребёнка — это независимое событие и рождение мальчика и девочки равновероятны.

Так как речь идёт о шансе 1/2, интуитивно мы ожидаем, что ответ будет, скорее всего, 1/2 или 1/4, или в знаменателе будет какое-то другое число, кратное двум. Но ответ — 1/3. Почему?

Сложность в данном случае в том, что информация, которая у нас есть, сокращает количество возможностей. Предположим, родители — фанаты «Улицы Сезам» и независимо от пола детей назвали их A и B. При нормальных условиях есть четыре равновероятные возможности: A и B — два мальчика, A и B — две девочки, A — мальчик и B — девочка, A — девочка и B — мальчик. Так как мы знаем, что хотя бы один ребёнок — девочка, мы можем исключить возможность, что A и B — два мальчика. Таким образом, у нас остается три возможности — всё ещё равновероятных. Если все возможности равновероятны и их три, то вероятность каждой из них равна 1/3. Только в одном из этих трёх вариантов оба ребёнка девочки, поэтому ответ — 1/3.

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Правило умножения вероятностей независимых событий

Что такое независимые события ты уже знаешь.

А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?

Можно конечно посчитать, но есть способ проще.

Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку \( 2\) раза, мы два раза увидим орла?

Мы уже считали: \( p=0,25\).

А если бросаем монетку \( 3\) раза? Какова вероятность увидеть орла \( 3\) раза подряд?

Всего возможных вариантов \( 8\):

• Орел-орел-орел
• Орел-орел-решка
• Орел-решка-орел
• Орел-решка-решка
• Решка-орел-орел
• Решка-орел-решка
•  Решка-решка-орел
• Решка-решка-решка

Не знаю, как ты, но я \( 3\) раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только \( 1\) вариант (первый).

Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.

Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.

Другими словами,

Вероятность определенной последовательности независимых событий равна произведению вероятностей каждого из событий

Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.

Вероятность выпадения орла в \( 1\) испытании? \( \displaystyle \frac{1}{2}\). Теперь мы бросаем монетку \( 5\) раз.

Какова вероятность выпадения \( 5\) раз подряд орла?

Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.

Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при \( 3\) бросках подряд, мы поступили бы также.

Вероятность выпадения решка – \( \displaystyle \frac{1}{2}\), орла – \( \displaystyle \frac{1}{2}\).

Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:\( \displaystyle p=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{16}\)Можешь проверить сам, составив таблицу.

Когда мы можем говорить о вероятности?

Какова вероятность того, что гуляя по улице вы встретите динозавра?Вы подбросили монетку и не подглядывая накрыли её рукой. Какова вероятность того, что монетка повёрнута орлом вверх?Замечание.Байесовской интерпретации теории вероятностейВы проснулись утром. Какова вероятность того, что сегодня воскресенье?Я написал на доске некоторое (конкретное) число и утверждаю, что дважды успешно проверил его на простоту вероятностным алгоритмом, который ошибается с вероятность менее 1%. С какой вероятностью это число простое?

Событие и виды событий

Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

• Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.

• Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.

• Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.

Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.

Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например:

• A — в результате броска монеты выпадет орел;

• Ā — в результате броска монеты выпадет решка.

Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.

Формула суммы вероятностей

несовместнымисуммой событий и противоположными

Задача для самопроверки

1. число чётно;
2. число нечётно;
3. число делится на 4;
4. число имеет остаток 2 при делении на 4;
5. число имеет остаток 1 при делении на 4.

Как решать задачи по теории вероятности

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Как рассуждаем:

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

P = 0/15 = 0

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Ответ: 0.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Как рассуждаем:

Вспоминаем основную формулу теории вероятности, которую мы привели выше. Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Следовательно:

Ответ: 0,25.

Теги