Содержание материала
- Фундаментальная теория
- Видео
- Как найти высоту конуса если известен объем
- Как найти высоту конуса
- Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике Стереометрия
- Конусы
- Усеченные конусы
- Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса
- Основные свойства кругового конуса
Фундаментальная теория
Перед тем, как найти высоту конуса, необходимо разобраться с теорией.
Конус — фигура, которая плавно сужается от плоского основания (часто, хотя и необязательно, кругового) до точки, называемой вершиной.
Конус формируется набором отрезков, лучей или прямых, соединяющих общую точку с основанием. Последнее может ограничиваться не только окружностью, но и эллипсом, параболой или гиперболой.

Ось — это прямая (если таковая имеется), вокруг которой фигура имеет круговую симметрию. Если угол между осью и основой составляет девяносто градусов, то конус принято называть прямым. Именно такая вариация чаще всего встречается в задачах.
Если в основе лежит многоугольник, то объект является пирамидой.
Отрезок, соединяющий вершину и линию, ограничивающую основание, называют образующей.
Видео
Как найти высоту конуса если известен объем
Прочитав данную статью, вы узнаете, как найти высоту конуса. Приведенный в ней материал поможет глубже разобраться в вопросе, а формулы окажутся весьма полезными в решении задач. В тексте разобраны все необходимые базовые понятия и свойства, которые обязательно пригодятся на практике.
Как найти высоту конуса
Подойдем к вопросу с другой стороны. Для начала используем объем конуса. Чтобы его найти нужно вычислить произведение высоты с третьей частью площади.
Очевидно, что из этого можно получить формулу высоты конуса. Достаточно лишь сделать правильные алгебраические преобразования. Разделим обе части равенства на S и умножим на тройку. Получим:
Теперь вы знаете, как найти высоту конуса. Однако для решения задач вам могут понадобиться и другие знания.
Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике Стереометрия
Конусы
Рассмотрим произвольную плоскость α, точку S, не лежащую на плоскости α, и перпендикуляр SO, опущенный из точки S на плоскость α (точка O – основание перпендикуляра). Рассмотрим также произвольный круг с центром в точке O, лежащий на плоскости α.
Определение 1. Конусом называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точку S с точками указанного круга с центром в точке O, лежащего на плоскости α (рис. 1).


Рис.1
Определение 2.
Точку S называют вершиной конуса. |
Отрезок SO называют осью конуса. |
Расстояние от точки S до плоскостиРасстояние от точки S до плоскости α (длину отрезка SO) называют высотой конуса. |
Круг с центром в точке O, лежащий на плоскости α, называют основанием конуса, радиус этого круга называют радиусом основания конуса, а саму плоскость α называют плоскостью основания конуса. |
Отрезки, соединяющие точку S с точками окружности называют образующими конуса. |
Совокупность всех образующих конуса составляет боковую поверхность конуса (коническую поверхность). |
Полная поверхность конуса состоит из основания конуса и его боковой поверхности. |
Замечание 1. Отрезок SO часто называют высотой конуса.
Замечание 2. Все образующие конуса имеют одинаковую длину. У конуса с высотой h и радиусом основания r длина образующих равна
Усеченные конусы
Рассмотрим конус с вершиной S, осью SO, радиусом основания r и высотой h. Плоскость β, параллельная параллельная плоскости основания конуса и расположенная на расстоянии h1 от вершины расстоянии h1 от вершины S, пересекает конус по кругу радиуса r1 с центром в точке O1 (рис. 2).



Рис.2
Из подобия прямоугольных треугольников SOA и SO1A1 можно выразить радиус r1 через известные величины r, h и h1:
Таким образом, плоскость β делит конус на две части: конус с осью SO1 и радиусом основания r1, а также вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).



Рис.3
Усеченный конус ограничен двумя основаниями: кругом с центром в точке O радиуса r на плоскости α и кругом с центром в точке O1 радиуса r1 на плоскости β, а также боковой поверхностью усеченного конуса, которая представляет собой часть боковой поверхности исходного конуса, заключенную между плоскостями α и β. Полная поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, которая заключена между плоскостями α и β, называют образующей усеченного конуса. Например, на рисунке 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок AA1.
Высотой усеченного конуса называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований усеченного конуса. У усеченного конуса, изображенного на рисунке 2, высота равна h – h1.
Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса
Введем следующие обозначения
Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности конуса, а также формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.
Фигура | Рисунок | Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности |
Конус | Sосн = πr2, Sбок= πrl, Sполн = πr2 + πrl, гдеr – радиус основания конуса,l – длина образующей конуса,h – высота конуса. | |
Усеченный конус | Sбок= π (r + r1)l , гдеh – высота усеченного конуса,r – радиус нижнего основания усеченного конуса,r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса, l – длина образующей усеченного конуса. |
Конус |
![]() Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: Sосн = πr2, Sбок= πrl, Sполн = πr2 + πrl, гдеr – радиус основания конуса,l – длина образующей конуса,h – высота конуса. |
Усеченный конус |
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: , Sбок= π (r + r1)l , гдеh – высота усеченного конуса,r – радиус нижнего основания усеченного конуса,r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса, l – длина образующей усеченного конуса. |
Замечание 3. Формула для вычисления объема конуса
может быть получена из формулы объема правильной n – угольной пирамиды
при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.
Замечание 4. Формула для вычисления объема усеченного конуса
может быть получена из формулы объема правильной усеченной n – угольной пирамиды
при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
Основные свойства кругового конуса
1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой. 2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360 ° образуется прямой круговой конус. 3. При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180 ° образуется прямой круговой конус. 4. В месте пересечения конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется круг. (см. Срезанный конус) 5. Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс (рис. 3). 6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в месте пересечения образуется парабола (рис. 4). 7. Если плоскость сечения проходит через вершину, то в месте пересечения образуется равнобедренный треугольник (см. Осевое сечение).8. Центр тяжести любого конуса находится на одной четвертой высоты от центра основы.