Трапеция. Свойства, признаки, площадь. Средняя линия трапеции

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Видео

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям, тем самым, является осью симметрии равнобедренной трапеции.

2. Высота, опущенная из вершины на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

3. Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.

4. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

5. Длины диагоналей равнобедренной трапеции равны.

6. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

7. При перпендикулярности диагоналей в равнобедренной трапеции ее высота равна полусумме оснований.

Формула площади криволинейной трапеции

Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка [a; b] на оси x. Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок [a; b]), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫^b_af(x)dx = F(x)│^b_a = F(b) – F(a). В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке [a; b]. И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.

Средняя линия трапеции

Определение. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =	a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту: m  = S h

Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними

$S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot \sin \left(\alpha \right)$S=21​⋅d1​⋅d2​⋅sin(α)

$d_1,d_2$d1​,d2​ — диагонали трапеции; $\alpha$α — угол между диагоналями.

Пример

Пусть две диагонали трапеции равны 20 (см.) и 7 (см.) и при пересечении они образуют угол 30 градусов. Найти площадь трапеции $S$S.

Решение

$d_1=20$d1​=2 $d_2=7$d2​=7 $\alpha =3{\circ }^{}$α=3∘

Площадь: $S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot \sin \left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 7\cdot \sin \left(3{\circ }^{}\right)=35$S=21​⋅d1​⋅d2​⋅sin(α)=21​⋅2⋅7⋅sin(3∘)=35 (см. кв.)

Ответ: 35 см. кв.

Что такое трапеция?

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

Вот, смотри:

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой).

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ?

А вот и нет. Тогда это получится не трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма)

Формула площади трапеции по основанию и средней линии

Нужно упомянуть, что средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований. Тем самым, способ нахождения площади через среднюю линию есть не что иное, как способ, аналогичный первому. Поскольку:

$l=\frac{a+b}{2},$l=2a+b​,

то:

$S=l\cdot h$S=l⋅h

$l$l — средняя линия трапеции; $h$h — высота.

Пример

Найти площадь трапеции, если известно, что средняя линия равна 5 (см.), а высота трапеции в 2 раза больше её.

Решение

$l=5$l=5 $h=2\cdot l$h=2⋅l

Найдем высоту трапеции: $h=2\cdot 5=10$h=2⋅5=1 Площадь: $S=l\cdot h=5\cdot 10=50$S=l⋅h=5⋅1=5 (см. кв.)

Ответ: 50 см. кв.

Виды трапеций:

Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Рис. 2. Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.

Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.

Рис. 3. Прямоугольная трапеция

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b),

m, n — боковые стороны трапеции,

d₁, d₂ — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d₁ = √a² + d² — 2ad·cos β

d₂ = √a² + c² — 2ac·cos α

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d1 =	√	d 2 + ab —	a(d 2 — c2)
a — b

d2 =	√	c2 + ab —	a(c2 — d 2)
a — b

3. Формула длины диагоналей через высоту:

d₁ = √h² + (a — h · ctg β)² = √h² + (b + h · ctg α)²

d₂ = √h² + (a — h · ctg α)² = √h² + (b + h · ctg β)²

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей: d 1 = √c 2 + d 2 + 2ab — d 22 d 2 = √c 2 + d 2 + 2ab — d 12

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h.

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h. Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d₁и d₂, которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d₁d₂ *sinα.

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c² – ( ( 1/2(b – a)) * ((b – a)² + c² – d²) )².

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Трапеция, вписанная в окружность

Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Доказывать это мы не будем (здесь, во всяком случае), а вот запомнить хорошо бы – пригодится!

Подведём итог – он короткий.Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.

Так что, если у тебя в задаче трапеция, – используй параллельность и всё получится!

Теги