Содержание материала
История
Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.
Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение 
в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:
Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:
обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является . Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается .
Доказательство иррациональности
Применим доказательство от противного: допустим, 
рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
- .
Отсюда следует, что 
чётно, значит, чётно и . Пусть 
, где целое. Тогда
Следовательно, 
чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и 
— иррациональное число.
Видео
Умножение арифметических корней
Для умножения арифметических корней используйте формулу:
Примеры:
Ответ:
Ответ:
Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.
Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:
Ответ:
Ответ:
Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:
Ответ:
Чтобы решать примеры быстрее, не забывайте пользоваться таблицей квадратов.
Ответ:
Сравнение квадратных корней
Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.
Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.
Если:
Давайте разберем на примере.
Сравните два выражения:
Первым делом преобразуем второе выражение:
Это значит, что
Чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.
Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.
Сравните два выражения:
Ответ: преобразовываем выражение
Это значит, что
Сравните два выражения:
Ответ: преобразовываем выражение
Это значит, что
Сравните два выражения:
Ответ: преобразовываем выражение
Это значит, что
Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.
Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.
Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.
Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.
Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.
Метод Герона
Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:
√R = √a + (R — a) / 2√a,
где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.
Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:
√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.
Теперь проверим точность метода:
10,55² = 111,3025.
Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:
√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Проверим точность расчёта:
10,536² = 111,0073.
После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.
Мнемоническое правило
Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней».
Размер бумаги
Квадратный корень из двух используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216 серий A и B, а также серии C по ISO 217. Соотношение сторон равно 
. При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,… и B0, B1, B2, B3…
Аналогичным способом (делением листа пополам) рациональное приближение к корню из двух (7/5) используется в форматах фотобумаги: 2R (2,5×3,5 дюйма), 3R (3,5×5 дюймов), 5R (5×7″).