Как найти векторное произведение векторов? Ответ на

Определение и формула векторного произведения векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, что наименьший поворот от вектора к вектору происходит против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора (рис. 1), причем

Если векторы и заданы своими координатами: , то их векторное произведение вычисляется по формуле:

где – орты координатных осей соответственно.

Если раскрыть этот определитель по первой строке:

то получаем, что

ПРИМЕР

Задание Найти векторное произведение векторов и Решение Для нахождения векторного произведения составим определитель, в первой строке которого записаны орты координатных осей, а во второй и третьей строках координаты векторов и соответственно: Вычислим этот определитель, разложив его по элементам первой строки: Ответ

Свойства

1. При изменении порядка множителей меняется знак на противоположный: $$ [\overline{a},\overline{b}] = -[\overline{b},\overline{a}] $$
2. Вынос константы за знак произведения: $$ \lambda [\overline{a},\overline{b}] = [\lambda \overline{a}, \overline{b}] = [\overline{a}, \lambda \overline{b}] $$
3. $$ [\overline{a}+\overline{b}, \overline{c}] = [\overline{a},\overline{c}] + [\overline{b}, \overline{c}] $$

Решение задач от 20 руб подробное написание Рефераты от 200 руб Уникальность 95%

Видео

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

1. Антикоммутативность
2. Свойство дистрибутивности

   или

   
3. Сочетательное свойство

   или

   Читайте также: Что такое удельное сопротивление. Расчёт сопротивления проводника
   

   , где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению

и

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Векторное произведение – примеры и решения

В большинстве случаев встречаются три типа задач.

В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулой$\left(\overrightarrow{c}\right)=\left(\overrightarrow{a}\right)·\left(\overrightarrow{b}\right)·\sin \angle \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ .

Найдите длину векторного произведения векторов a→ и b→, если известноa→=3, b→=5, ∠a→,b→=π4. Решение С помощью определения длины векторного произведения векторов a→ и b→ решим данную задач: a→×b→=a→·b→·sin∠a→,b→=3·5·sinπ4=1522. Ответ: 1522.

Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов $\overrightarrow{a}=(a_x; a_y; a_z)$ и $\overrightarrow{b}=(b_x; b_y; b_z)$.

Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов  $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, а их разложения по координатным векторам вида $\overrightarrow{b}=b_x·\overrightarrow{i} +b_y·\overrightarrow{j}+b_z·\overrightarrow{k}$ и $\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)=(a_y·b_z—a_z·b_y)·\overrightarrow{i}+(a_z·b_x—a_x·b_z)·\overrightarrow{j}+(a_x·b_y—a_y·b_x)·\overrightarrow{k}$, или векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим следующие примеры.

В прямоугольной системе координат заданы два вектора a→=(2; 1; -3), b→=(; -1; 1). Найдите их векторное произведение. Решение По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах:a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→==(1·1-(-3)·(-1))·i→+((-3)·-2·1)·j→+(2·(-1)-1·)·k→==-2i→-2j→-2k→. Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=i→j→k→21-3-11=-2i→-2j→-2k→. Ответ: a→×b→=-2i→-2j→-2k→.

Найдите длину векторного произведения векторов i→-j→ и i→+j→+k→, где i→, j→, k→ — орты прямоугольной декартовой системы координат. Решение Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i→-j→×i→+j→+k→ в данной прямоугольной системе координат. Известно, что векторы i→-j→ и i→+j→+k→ имеют координаты (1; -1; )  и (1; 1; 1) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i→-j→×i→+j→+k→=i→j→k→1-1111=-i→-j→+2k→. Следовательно, векторное произведение i→-j→×i→+j→+k→ имеет координаты (-1; -1; 2) в заданной системе координат. Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i→-j→×i→+j→+k→=-12+-12+22=6. Ответ: i→-j→×i→+j→+k→=6..

В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A(1,,1), B(,2,3), C(1,4,2) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный AB→ и AC→ одновременно. Решение Векторы  AB→ и AC→ имеют следующие координаты (-1; 2; 2) и (; 4; 1) соответственно. Найдя векторное произведение векторов AB→ и AC→, очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к  AB→​​​​​ и к AC→, то есть, является решением нашей задачи. Найдем его AB→×AC→=i→j→k→-12241=-6i→+j→-4k→. Ответ: -6i→+j→-4k→. — один из перпендикулярных векторов.

Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.

Векторы  a→ и b→ перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4. Найдите длину векторного произведения 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→. Решение По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→ По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→==3·a→×a→+3·(-2)·a→×b→+(-1)·b→×a→+(-1)·(-2)·b→×b→==3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→ Векторные произведения a→×a→ и b→×b→ равны 0, так как a→×a→=a→·a→·sin= и b→×b→=b→·b→·sin=, тогда 3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→=-6·a→×b→-b→×a→.. Из антикоммутативности векторного произведения следует -6·a→×b→-b→×a→=-6·a→×b→-(-1)·a→×b→=-5·a→×b→.. Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3·a→-b→×a→-2·b→==-5·a→×b→. По условию векторы  a→ и b→ перпендикулярны, то есть угол между ними равен π2. Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3·a→-b→×a→-2·b→=-5·a→×b→==5·a→×b→=5·a→·b→·sin(a→,b→)=5·3·4·sinπ2=60. Ответ: 3·a→-b→×a→-2·b→=60.

Векторное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 3. Пусть два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами

a={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2}.

Тогда векторное произведение этих векторов имеет вид:

[ab]={y1z2—y2z1, z1x2−z2x1, x1y2−x2y1}.

(3)

Для запоминания формулы (3) удобно представить векторное произведение векторов в виде определителя:

Раскрывая определитель по элементам первой строки мы получим разложение вектора a×b по базису i, j, k, которое эквивалентно формуле (3).

Доказательство теоремы 3. Составим все возможные пары из базисных векторов i, j, k и посчитаем их векторное произведение. Надо учитывать, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину (иными словами можно предполагать, что i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k={0, 0, 1}). Тогда имеем:

(4)

Далее, учитывая, что a=x₁i+y₁j+z₁k, b=x₂i+y₂j+z₂k, и опираясь на свойства векторного произведения векторов, получим:

Из последнего равенства и соотношений (4), получим:

которая эквивалентна равенству (3).

Теорема доказана.

Геометрические свойства векторного произведения

1. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на множителях (рис. 1.42,6).

2. Векторное произведение равняется нулевому вектору тогда и только тогда, когда множители коллинеарны, т.е.

, в частности, .

Первое свойство следует из определения. Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: , или , или . В каждом из этих случаев векторы и коллинеарны (см. разд. 1.1).

Пример 1.19. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах , где , угол между векторами и равен (рис. 1.44).

Решение. Используя алгебраические свойства, найдем сначала векторное произведение

а затем его модуль .

По первому геометрическому свойству векторного произведения искомая площадь параллелограмма равна , а площадь треугольника в 2 раза меньше: .

Некоторые приложения векторного произведения Установление коллинеарности векторов

Если , то (и наоборот), т. е.

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом силы относительно точки О называется вектор , который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами . Стало быть,

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера , где , где О — некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

Теги