Содержание материала
Основные понятия
Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.
Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δ t = t 1 – t , а изменение угловой скорости составит Δ ω = ω 1 – ω , тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: " open=" ε = ∆ ω ∆ t = ε . Перейдем к пределу, когда Δ t > 0 , тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε = l i m ∆ t → 0 ∆ ω ∆ t = d ω d t = d 2 φ d t = ω ˙ = φ ¨ .
Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.
Размерность углового ускорения 1 T 2 (т.е. 1 в р е м я 2 ). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается р а д / с 2 или иначе: 1 с 2 ( с – 2 ) .
Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.
Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.
В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.
Рисунок 1 . Вектор углового ускорения
Если мы представим угловое ускорение как вектор ε → = d ω → d t , имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε → и ω → совпадут по направлениям (левая часть рисунка 1 ) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть рисунка 1 ).
Угловая скорость (Скорость)
В физике угловая скорость (скорость) молекулы-это скорость, с которой она вращается вокруг выбранной точки фокусировки.
То есть скорость изменения ее углового смещения относительно места рождения (проще говоря: как быстро элемент обходит другой элемент в течение некоторого неопределенного периода времени — например, как быстро земля вращается вокруг Солнца).
Он оценивается в ребрах в единицу времени, радианах в секунду в единицах СИ, и обычно изображается символом омега (ω, редко Ω). По традиции положительная угловая скорость (скорость) демонстрирует поворот против часовой стрелки, в то время как отрицательная-по часовой стрелке.
Поскольку оно имеет три измерения, угловое ускорение представляет собой псевдовектор, масштаб (величина) которого оценивает скорость поворота.
А его направление направлено вдоль оси вращения (противоположно векторам дальности и скорости). Увеличение или уменьшение угловой скорости обычно указывается правым правилом.
Видео
примеров
Первый пример
Определить мгновенное угловое ускорение движущегося тела, совершающего вращательное движение, с учетом выражения его положения во вращении Θ (t) = 4 т.3 я. (Где i — единичный вектор в направлении оси x).
Также определите значение мгновенного углового ускорения, когда прошло 10 секунд с начала движения..
решение
Выражение угловой скорости можно получить из выражения положения:
ω (t) = d Θ / dt = 12 т2я (рад / с)
Как только мгновенная угловая скорость была вычислена, мгновенное угловое ускорение может быть вычислено как функция времени.
α (t) = dω / dt = 24 t i (рад / с)2)
Чтобы вычислить значение мгновенного углового ускорения по истечении 10 секунд, необходимо только заменить значение времени в предыдущем результате..
α (10) = = 240 i (рад / с)2)
Второй пример
Определите среднее угловое ускорение тела, которое испытывает круговое движение, зная, что его начальная угловая скорость была 40 рад / с и что через 20 секунд она достигла угловой скорости 120 рад / с..
решение
Из следующего выражения вы можете рассчитать среднее угловое ускорение:
α = Δω / Δt
α = (ωF — ω) / (тF — T ) = (120 — 40) / 20 = 4 рад / с
Третий пример
Каково будет угловое ускорение колеса, которое начинает двигаться с равномерно ускоренным круговым движением, пока через 10 секунд оно не достигнет угловой скорости в 3 оборота в минуту? Каким будет тангенциальное ускорение кругового движения в этот период времени? Радиус колеса составляет 20 метров.
решение
Во-первых, необходимо преобразовать угловую скорость из оборотов в минуту в радианы в секунду. Для этого выполняется следующее преобразование:
ωF = 3 об / мин = 3 ∙ (2 ∙ Π) / 60 = Π / 10 рад / с
Как только это преобразование выполнено, можно рассчитать угловое ускорение, учитывая, что:
ω = ω + α ∙ т
Π / 10 = 0 + α ∙ 10
α = Π / 100 рад / с2
А тангенциальное ускорение возникает в результате действия следующего выражения:
α = a / R
a = α ∙ R = 20 ∙ Π / 100 = Π / 5 м / с2
Как определить угловое ускорение
Угловое ускорение вращающегося объекта-это скорость, с которой угловая скорость изменяется в зависимости от затраченного времени.
Это регулировка угловой скорости, изолированная регулировкой во времени. Нормальное угловое ускорение-это регулировка угловой скорости, разделенная регулировкой во времени.
Угловое ускорение-это псевдовектор, который фокусируется на траектории вдоль оси поворота. Степень углового ускорения определяется приведенным ниже уравнением. Единица измерения углового ускорения-радианы/с2.
α=Δω/Δt = (ω2−ω1)/(t2−t1)
α = угловое ускорение, (радиан/с2)
Δω = изменение угловой скорости (радиан/с)
Δt = изменение во времени (ов)
ω1 = вводное угловое ускорение (радиан/с)
ω2= последняя угловая скорость (радиан/с)
t1 = время (ы)вступления (ов)
t2= последний раз (ы)
Закон равнопеременного вращения
Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным (ε=const).
Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени угол вращения равен ; угловая скорость — (т.е. является начальной угловой скоростью).
Выражение дает нам возможность сделать запись: . Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от до , а правую – в пределах от до , тогда:
.
Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:
Закон равнопеременного вращения: φ=φ+ωt+εt22. Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки. Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.
Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом , тогда: . Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: . Учтем это выражение и для полного ускорения получим: Для равнопеременного движения: и .
Советы
- Производная от какой-либо величины – это быстрота изменения этой величины за промежуток времени t1 и t2, причем t2 — t1 -> 0, то есть за бесконечно малый промежуток времени.
- Производная от tn по t (где n – любое целое число) вычисляется следующим образом:
- Формула для вычисления угла поворота в определенный момент времени t находится экспериментально (в результате множества измерений).
- Запомните: 1 рад = 57,3 градусов.