Угловое ускорение Как рассчитать и примеры / физика

Основные понятия

Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δ t = t 1 – t , а изменение угловой скорости составит Δ ω = ω 1 – ω , тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: " open=" ε = ∆ ω ∆ t = ε . Перейдем к пределу, когда Δ t > 0 , тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε = l i m ∆ t → 0 ∆ ω ∆ t = d ω d t = d 2 φ d t = ω ˙ = φ ¨ .

Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

Размерность углового ускорения 1 T 2 (т.е. 1 в р е м я 2 ). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается р а д / с 2 или иначе: 1 с 2 ( с – 2 ) .

Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

Рисунок 1 . Вектор углового ускорения

Если мы представим угловое ускорение как вектор ε → = d ω → d t , имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε → и ω → совпадут по направлениям (левая часть рисунка 1 ) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть рисунка 1 ).

Угловая скорость (Скорость)

В физике угловая скорость (скорость) молекулы-это скорость, с которой она вращается вокруг выбранной точки фокусировки.

То есть скорость изменения ее углового смещения относительно места рождения (проще говоря: как быстро элемент обходит другой элемент в течение некоторого неопределенного периода времени — например, как быстро земля вращается вокруг Солнца).

Он оценивается в ребрах в единицу времени, радианах в секунду в единицах СИ, и обычно изображается символом омега (ω, редко Ω). По традиции положительная угловая скорость (скорость) демонстрирует поворот против часовой стрелки, в то время как отрицательная-по часовой стрелке.

Поскольку оно имеет три измерения, угловое ускорение представляет собой псевдовектор, масштаб (величина) которого оценивает скорость поворота.

А его направление направлено вдоль оси вращения (противоположно векторам дальности и скорости). Увеличение или уменьшение угловой скорости обычно указывается правым правилом.

Видео

примеров

Первый пример

Определить мгновенное угловое ускорение движущегося тела, совершающего вращательное движение, с учетом выражения его положения во вращении Θ (t) = 4 т.³ я. (Где i — единичный вектор в направлении оси x).

Также определите значение мгновенного углового ускорения, когда прошло 10 секунд с начала движения..

решение

Выражение угловой скорости можно получить из выражения положения:

ω (t) = d Θ / dt = 12 т²я (рад / с)

Как только мгновенная угловая скорость была вычислена, мгновенное угловое ускорение может быть вычислено как функция времени.

α (t) = dω / dt = 24 t i (рад / с)²)

Чтобы вычислить значение мгновенного углового ускорения по истечении 10 секунд, необходимо только заменить значение времени в предыдущем результате..

α (10) = = 240 i (рад / с)²)

Второй пример

Определите среднее угловое ускорение тела, которое испытывает круговое движение, зная, что его начальная угловая скорость была 40 рад / с и что через 20 секунд она достигла угловой скорости 120 рад / с..

решение

Из следующего выражения вы можете рассчитать среднее угловое ускорение:

α = Δω / Δt

α = (ω_F  — ω) / (т_F — T ) = (120 — 40) / 20 = 4 рад / с

Третий пример

Каково будет угловое ускорение колеса, которое начинает двигаться с равномерно ускоренным круговым движением, пока через 10 секунд оно не достигнет угловой скорости в 3 оборота в минуту? Каким будет тангенциальное ускорение кругового движения в этот период времени? Радиус колеса составляет 20 метров.

решение

Во-первых, необходимо преобразовать угловую скорость из оборотов в минуту в радианы в секунду. Для этого выполняется следующее преобразование:

ω_F = 3 об / мин = 3 ∙ (2 ∙ Π) / 60 = Π / 10 рад / с

Как только это преобразование выполнено, можно рассчитать угловое ускорение, учитывая, что:

ω = ω + α ∙ т

Π / 10 = 0 + α ∙ 10

α = Π / 100 рад / с²

А тангенциальное ускорение возникает в результате действия следующего выражения:

α = a / R

a = α ∙ R = 20 ∙ Π / 100 = Π / 5 м / с²

Как определить угловое ускорение

Угловое ускорение вращающегося объекта-это скорость, с которой угловая скорость изменяется в зависимости от затраченного времени.

Это регулировка угловой скорости, изолированная регулировкой во времени. Нормальное угловое ускорение-это регулировка угловой скорости, разделенная регулировкой во времени.

Угловое ускорение-это псевдовектор, который фокусируется на траектории вдоль оси поворота. Степень углового ускорения определяется приведенным ниже уравнением. Единица измерения углового ускорения-радианы/с2.

α=Δω/Δt = (ω₂−ω₁)/(t₂−t₁)

α = угловое ускорение, (радиан/с2)

Δω = изменение угловой скорости (радиан/с)

Δt = изменение во времени (ов)

ω₁ = вводное угловое ускорение (радиан/с)

ω₂= последняя угловая скорость (радиан/с)

t₁ = время (ы)вступления (ов)

t₂= последний раз (ы)

Закон равнопеременного вращения

Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным (ε=const).

Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени $t_{}$ угол вращения равен $\varphi ={\varphi }_{}$; угловая скорость — $\omega ={\omega }_{}$ (т.е. ${\omega }_{}$ является начальной угловой скоростью).

Выражение $\epsilon =\frac{d\omega }{dt}=\dot{\omega }=\ddot{\phi }$ дает нам возможность сделать запись: $d\omega =\epsilon dt$. Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ${\omega }_{}$ до $\omega$, а правую – в пределах от $$ до $t$, тогда:

$\omega ={\omega }_{}+\epsilon t, d\phi ={\omega }_{}dt+\epsilon tdt$.

Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

Закон равнопеременного вращения: φ=φ+ωt+εt22. Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки. Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.

Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом $R$, тогда: ${\alpha }_r=\epsilon R$. Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: $a_n={\omega }^{2}R$. Учтем это выражение и для полного ускорения получим: $a=\sqrt{a_r^2+a_n^2}=R\sqrt{{\epsilon }^2+{\omega }^4}$ Для равнопеременного движения: $\omega =\epsilon t; a_n={\omega }^{2}R={\epsilon }^2{t}^{2}R$ и $a=R\sqrt{{\epsilon }^2+{\epsilon }^4{t}^4}=R\epsilon \sqrt{1+{\epsilon }^2{t}^4}$.

Советы

• Производная от какой-либо величины – это быстрота изменения этой величины за промежуток времени t1 и t2, причем t2 — t1 -> 0, то есть за бесконечно малый промежуток времени.
• Производная от tⁿ по t (где n – любое целое число) вычисляется следующим образом:
• Формула для вычисления угла поворота в определенный момент времени t находится экспериментально (в результате множества измерений).
• Запомните: 1 рад = 57,3 градусов.

Теги