Содержание материала
Определение параллелограмма
С этой фигурой знакомы все, освоившие курс школьной программы. Впервые с понятием «параллелограмм» встречаются в 8 классе на уроках геометрии.
Параллелограмм — геометрическая фигура, являющаяся разновидностью четырехугольника. Противоположные стороны параллельны.
Стоит отметить, что всем известные фигуры, такие как квадрат, ромб, прямоугольник, являются параллелограммами. Исходя из этого, им можно дать следующие определения:
- Квадрат — параллелограмм с равными сторонами, пересекающимися под углом 90 градусов.
- Ромб — параллелограмм с равными между собой сторонами, не пересекающимися под углом 90 градусов.
- Прямоугольник — параллелограмм с неравными между собой сторонами, но пересекающимися под прямым углом.
Видео
Стороны параллелограмма
Формулы определения длин сторон параллелограмма:
1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:a =
b =
a = | √2d12 + 2d22 — 4b2 |
2 |
b = | √2d12 + 2d22 — 4a2 |
2 |
a = | hb |
sin α |
b = | ha |
sin α |
4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту: a = Sha b = Shb
Как вписать окружность впараллелограмм?
В окружность можно вписать параллелограмм при условии равнозначных сумм противолежащих сторон. Из трех вариантов параллелограмма сумма противоположных сторон одинакова только у ромба. Следовательно, если в параллелограмм вписана окружность, то этот параллелограмм является ромбом.
Алгоритм действий:
- Начертить ромб можно, зная длину минимум одной стороны и одного угла.
- Провести горизонтальную линию, равную длине стороны.
- Транспортиром отмерить известный угол и провести луч.
- На луче отмерить тот же самый размер стороны.
- Оставшиеся две стороны нарисовать параллельно имеющимся.
- Согласно свойству ромба и вписанной окружности, проводим две биссектрисы из смежных углов (они же диагонали в ромбе).
- Пересечение биссектрис отметить точкой О.
- Точка О будет центром окружности.
- Вписанная окружность должна касаться всех сторон параллелограмма. Следовательно, стороны ромба будут касательными к окружности.
- Касательные перпендикулярны радиусу, который проходит к точке касания. Таким образом, из центра окружности (точки О) надо опустить перпендикуляр к любой стороне ромба.
- Иголку циркуля поставить в точку О, а ножку — на точку касания перпендикуляра со стороной ромба.
- Начертить окружность.
- Правильно начерченная фигура будет соприкасаться со всеми сторонами ромба.
Признаки параллелограмма
Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Противоположные стороны попарно равны:
2. Противоположные углы попарно равны:
3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам
4. Противоположные стороны равны и параллельны:
5.
Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:
Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.
Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.