Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

С этой фигурой знакомы все, освоившие курс школьной программы. Впервые с понятием «параллелограмм» встречаются в 8 классе на уроках геометрии.

Параллелограмм — геометрическая фигура, являющаяся разновидностью четырехугольника. Противоположные стороны параллельны.

Стоит отметить, что всем известные фигуры, такие как квадрат, ромб, прямоугольник, являются параллелограммами. Исходя из этого, им можно дать следующие определения:

• Квадрат — параллелограмм с равными сторонами, пересекающимися под углом 90 градусов.
• Ромб — параллелограмм с равными между собой сторонами, не пересекающимися под углом 90 градусов.
• Прямоугольник — параллелограмм с неравными между собой сторонами, но пересекающимися под прямым углом.

Видео

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

a =  √d₁² + d₂² — 2d₁d₂·cosγ 2 = √d₁² + d₂² + 2d₁d₂·cosδ 2

b =  √d₁² + d₂² + 2d₁d₂·cosγ 2 = √d₁² + d₂² — 2d₁d₂·cosδ 2

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a =	√2d12 + 2d22 — 4b2
2

b =	√2d12 + 2d22 — 4a2
2

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

a =	hb
sin α

b =	ha
sin α

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту: a  = Sha b  = Shb

Как вписать окружность впараллелограмм?

В окружность можно вписать параллелограмм при условии равнозначных сумм противолежащих сторон. Из трех вариантов параллелограмма сумма противоположных сторон одинакова только у ромба. Следовательно, если в параллелограмм вписана окружность, то этот параллелограмм является ромбом.

Алгоритм действий:

1. Начертить ромб можно, зная длину минимум одной стороны и одного угла.
2. Провести горизонтальную линию, равную длине стороны.
3. Транспортиром отмерить известный угол и провести луч.
4. На луче отмерить тот же самый размер стороны.
5. Оставшиеся две стороны нарисовать параллельно имеющимся.
6. Согласно свойству ромба и вписанной окружности, проводим две биссектрисы из смежных углов (они же диагонали в ромбе).
7. Пересечение биссектрис отметить точкой О.
8. Точка О будет центром окружности.
9. Вписанная окружность должна касаться всех сторон параллелограмма. Следовательно, стороны ромба будут касательными к окружности.
10. Касательные перпендикулярны радиусу, который проходит к точке касания. Таким образом, из центра окружности (точки О) надо опустить перпендикуляр к любой стороне ромба.
11. Иголку циркуля поставить в точку О, а ножку — на точку касания перпендикуляра со стороной ромба.
12. Начертить окружность.
13. Правильно начерченная фигура будет соприкасаться со всеми сторонами ромба.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

5.

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства  применяются в задачах:

Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Теги