Значения функции и точки максимума и минимума

Минимум и максимум функции

Минимумом и максимумом функции, другими словами экстремумами,называют точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание и наоборот). Важно понимать, что экстремумы это не максимальные и минимальные значения функции. Обозначаются следующим образом: 

  • \(y_{min}, y_{max}\) — минимум, максимум функции или экстремумы;
  • \(x_{min}, x_{max}\) — точки минимума, максимума функции;
  • \(y_{наиб}, y_{наим}\) — наибольшее (максимальное), наименьшее (минимальное) значение функции.

Видео

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Третье достаточное условие экстремума

Определение 5

Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка  в ε окрестности заданной точки x и производную до n+1-го порядка в точке x. Тогда f'(x)=f»(x)=f»'(x)=…=fn(x)=.

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x точка экстремума, причем f(n+1)(x)>, тогда x является точкой минимума, f(n+1)(x)<, тогда x является точкой максимума.

Пример 4

Найти точки максимума и минимума функции yy=116(x+1)3(x-3)4. Решение Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что y’=116x+13′(x-3)4+(x+1)3x-34’==116(3(x+1)2(x-3)4+(x+1)34(x-3)3)==116(x+1)2(x-3)3(3x-9+4x+4)=116(x+1)2(x-3)3(7x-5) Данная производная обратится в ноль при x1=-1, x2=57, x3=3. То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что y»=116x+12(x-3)3(7x-5)’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)y»(-1)=y»57=-368642401<y»(3)= Значит, что x2=57 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n=1 и f(n+1)57<. Необходимо определить характер точек x1=-1, x3=3. Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что y»’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)’==18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)y»'(-1)=96≠y»'(3)= Значит, x1=-1 является точкой перегиба функции, так как при n=2 и f(n+1)(-1)≠. Необходимо исследовать точку x3=3. Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке: y(4)=18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)’==12(105×3-405×2+315x+57)y(4)(3)=96> Из выше решенного делаем вывод, что x3=3 является точкой минимума функции. Графическое изображение Ответ: x2=57 является точкой максимума, x3=3 — точкой минимума заданной функции.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги

Теги

Популярные:

Последние:

Adblock
detector