Тангенс tg x котангенс ctg x

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Ctg (α) острого угла прямоугольного треуголь

Ctg (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета(AC) к противолежащему катету(BC).Пимер:α = 40°; AC = 9см; BC = 7,552см. ctg (40°) =    97,552  = 1,1918

Угол (градусы) Тангенс (Tg) Котангенс (Ctg)
0.017455064957.2899616308
0.034920769528.6362532829
0.052407779319.0811366877
0.069926811914.3006662567
0.087488663511.4300523028
0.10510423539.5143644542
0.12278456098.1443464280
0.14054083477.1153697224
0.15838444036.3137515147
10°0.17632698075.6712818196
11°0.19438030915.1445540160
12°0.21255656174.7046301095
13°0.23086819114.3314758743
14°0.24932800284.0107809335
15°0.26794919243.7320508076
16°0.28674538583.4874144438
17°0.30573068153.2708526185
18°0.32491969623.0776835372
19°0.34432761332.9042108777
20°0.36397023432.7474774195
21°0.38386403502.6050890647
22°0.40402622582.4750868534
23°0.42447481622.3558523658
24°0.44522868532.2460367739
25°0.46630765822.1445069205
26°0.48773258862.0503038416
27°0.50952544951.9626105055
28°0.53170943171.8807264653
29°0.55430905151.8040477553
30°0.57735026921.7320508076
31°0.60086061901.6642794824
32°0.62486935191.6003345290
33°0.64940759321.5398649638
34°0.67450851681.4825609685
35°0.70020753821.4281480067
36°0.72654252801.3763819205
37°0.75355405011.3270448216
38°0.78128562651.2799416322
39°0.80978403321.2348971565
40°0.83909963121.1917535926
41°0.86928673781.1503684072
42°0.90040404431.1106125148
43°0.93251508611.0723687100
44°0.96568877481.0355303138
45°11
46°1.03553031380.9656887748
47°1.07236871000.9325150861
48°1.11061251480.9004040443
49°1.15036840720.8692867378
50°1.19175359260.8390996312
51°1.23489715650.8097840332
52°1.27994163220.7812856265
53°1.32704482160.7535540501
54°1.37638192050.7265425280
55°1.42814800670.7002075382
56°1.48256096850.6745085168
57°1.53986496380.6494075932
58°1.60033452900.6248693519
59°1.66427948240.6008606190
60°1.73205080760.5773502692
61°1.80404775530.5543090515
62°1.88072646530.5317094317
63°1.96261050550.5095254495
64°2.05030384160.4877325886
65°2.14450692050.4663076582
66°2.24603677390.4452286853
67°2.35585236580.4244748162
68°2.47508685340.4040262258
69°2.60508906470.3838640350
70°2.74747741950.3639702343
71°2.90421087770.3443276133
72°3.07768353720.3249196962
73°3.27085261850.3057306815
74°3.48741444380.2867453858
75°3.73205080760.2679491924
76°4.01078093350.2493280028
77°4.33147587430.2308681911
78°4.70463010950.2125565617
79°5.14455401600.1943803091
80°5.67128181960.1763269807
81°6.31375151470.1583844403
82°7.11536972240.1405408347
83°8.14434642800.1227845609
84°9.51436445420.1051042353
85°11.43005230280.0874886635
86°14.30066625670.0699268119
87°19.08113668770.0524077793
88°28.63625328290.0349207695
89°57.28996163080.0174550649
90°
91°-57.2899616308-0.0174550649
92°-28.6362532829-0.0349207695
93°-19.0811366877-0.0524077793
94°-14.3006662567-0.0699268119
95°-11.4300523028-0.0874886635
96°-9.5143644542-0.1051042353
97°-8.1443464280-0.1227845609
98°-7.1153697224-0.1405408347
99°-6.3137515147-0.1583844403
100°-5.6712818196-0.1763269807
101°-5.1445540160-0.1943803091
102°-4.7046301095-0.2125565617
103°-4.3314758743-0.2308681911
104°-4.0107809335-0.2493280028
105°-3.7320508076-0.2679491924
106°-3.4874144438-0.2867453858
107°-3.2708526185-0.3057306815
108°-3.0776835372-0.3249196962
109°-2.9042108777-0.3443276133
110°-2.7474774195-0.3639702343
111°-2.6050890647-0.3838640350
112°-2.4750868534-0.4040262258
113°-2.3558523658-0.4244748162
114°-2.2460367739-0.4452286853
115°-2.1445069205-0.4663076582
116°-2.0503038416-0.4877325886
117°-1.9626105055-0.5095254495
118°-1.8807264653-0.5317094317
119°-1.8040477553-0.5543090515
120°-1.7320508076-0.5773502692
121°-1.6642794824-0.6008606190
122°-1.6003345290-0.6248693519
123°-1.5398649638-0.6494075932
124°-1.4825609685-0.6745085168
125°-1.4281480067-0.7002075382
126°-1.3763819205-0.7265425280
127°-1.3270448216-0.7535540501
128°-1.2799416322-0.7812856265
129°-1.2348971565-0.8097840332
130°-1.1917535926-0.8390996312
131°-1.1503684072-0.8692867378
132°-1.1106125148-0.9004040443
133°-1.0723687100-0.9325150861
134°-1.0355303138-0.9656887748
135°-1-1
136°-0.9656887748-1.0355303138
137°-0.9325150861-1.0723687100
138°-0.9004040443-1.1106125148
139°-0.8692867378-1.1503684072
140°-0.8390996312-1.1917535926
141°-0.8097840332-1.2348971565
142°-0.7812856265-1.2799416322
143°-0.7535540501-1.3270448216
144°-0.7265425280-1.3763819205
145°-0.7002075382-1.4281480067
146°-0.6745085168-1.4825609685
147°-0.6494075932-1.5398649638
148°-0.6248693519-1.6003345290
149°-0.6008606190-1.6642794824
150°-0.5773502692-1.7320508076
151°-0.5543090515-1.8040477553
152°-0.5317094317-1.8807264653
153°-0.5095254495-1.9626105055
154°-0.4877325886-2.0503038416
155°-0.4663076582-2.1445069205
156°-0.4452286853-2.2460367739
157°-0.4244748162-2.3558523658
158°-0.4040262258-2.4750868534
159°-0.3838640350-2.6050890647
160°-0.3639702343-2.7474774195
161°-0.3443276133-2.9042108777
162°-0.3249196962-3.0776835372
163°-0.3057306815-3.2708526185
164°-0.2867453858-3.4874144438
165°-0.2679491924-3.7320508076
166°-0.2493280028-4.0107809335
167°-0.2308681911-4.3314758743
168°-0.2125565617-4.7046301095
169°-0.1943803091-5.1445540160
170°-0.1763269807-5.6712818196
171°-0.1583844403-6.3137515147
172°-0.1405408347-7.1153697224
173°-0.1227845609-8.1443464280
174°-0.1051042353-9.5143644542
175°-0.0874886635-11.4300523028
176°-0.0699268119-14.3006662567
177°-0.0524077793-19.0811366877
178°-0.0349207695-28.6362532829
179°-0.0174550649-57.2899616308
180°
181°0.017455064957.2899616308
182°0.034920769528.6362532829
183°0.052407779319.0811366877
184°0.069926811914.3006662567
185°0.087488663511.4300523028
186°0.10510423539.5143644542
187°0.12278456098.1443464280
188°0.14054083477.1153697224
189°0.15838444036.3137515147
190°0.17632698075.6712818196
191°0.19438030915.1445540160
192°0.21255656174.7046301095
193°0.23086819114.3314758743
194°0.24932800284.0107809335
195°0.26794919243.7320508076
196°0.28674538583.4874144438
197°0.30573068153.2708526185
198°0.32491969623.0776835372
199°0.34432761332.9042108777
200°0.36397023432.7474774195
201°0.38386403502.6050890647
202°0.40402622582.4750868534
203°0.42447481622.3558523658
204°0.44522868532.2460367739
205°0.46630765822.1445069205
206°0.48773258862.0503038416
207°0.50952544951.9626105055
208°0.53170943171.8807264653
209°0.55430905151.8040477553
210°0.57735026921.7320508076
211°0.60086061901.6642794824
212°0.62486935191.6003345290
213°0.64940759321.5398649638
214°0.67450851681.4825609685
215°0.70020753821.4281480067
216°0.72654252801.3763819205
217°0.75355405011.3270448216
218°0.78128562651.2799416322
219°0.80978403321.2348971565
220°0.83909963121.1917535926
221°0.86928673781.1503684072
222°0.90040404431.1106125148
223°0.93251508611.0723687100
224°0.96568877481.0355303138
225°11
226°1.03553031380.9656887748
227°1.07236871000.9325150861
228°1.11061251480.9004040443
229°1.15036840720.8692867378
230°1.19175359260.8390996312
231°1.23489715650.8097840332
232°1.27994163220.7812856265
233°1.32704482160.7535540501
234°1.37638192050.7265425280
235°1.42814800670.7002075382
236°1.48256096850.6745085168
237°1.53986496380.6494075932
238°1.60033452900.6248693519
239°1.66427948240.6008606190
240°1.73205080760.5773502692
241°1.80404775530.5543090515
242°1.88072646530.5317094317
243°1.96261050550.5095254495
244°2.05030384160.4877325886
245°2.14450692050.4663076582
246°2.24603677390.4452286853
247°2.35585236580.4244748162
248°2.47508685340.4040262258
249°2.60508906470.3838640350
250°2.74747741950.3639702343
251°2.90421087770.3443276133
252°3.07768353720.3249196962
253°3.27085261850.3057306815
254°3.48741444380.2867453858
255°3.73205080760.2679491924
256°4.01078093350.2493280028
257°4.33147587430.2308681911
258°4.70463010950.2125565617
259°5.14455401600.1943803091
260°5.67128181960.1763269807
261°6.31375151470.1583844403
262°7.11536972240.1405408347
263°8.14434642800.1227845609
264°9.51436445420.1051042353
265°11.43005230280.0874886635
266°14.30066625670.0699268119
267°19.08113668770.0524077793
268°28.63625328290.0349207695
269°57.28996163080.0174550649
270°
271°-57.2899616308-0.0174550649
272°-28.6362532829-0.0349207695
273°-19.0811366877-0.0524077793
274°-14.3006662567-0.0699268119
275°-11.4300523028-0.0874886635
276°-9.5143644542-0.1051042353
277°-8.1443464280-0.1227845609
278°-7.1153697224-0.1405408347
279°-6.3137515147-0.1583844403
280°-5.6712818196-0.1763269807
281°-5.1445540160-0.1943803091
282°-4.7046301095-0.2125565617
283°-4.3314758743-0.2308681911
284°-4.0107809335-0.2493280028
285°-3.7320508076-0.2679491924
286°-3.4874144438-0.2867453858
287°-3.2708526185-0.3057306815
288°-3.0776835372-0.3249196962
289°-2.9042108777-0.3443276133
290°-2.7474774195-0.3639702343
291°-2.6050890647-0.3838640350
292°-2.4750868534-0.4040262258
293°-2.3558523658-0.4244748162
294°-2.2460367739-0.4452286853
295°-2.1445069205-0.4663076582
296°-2.0503038416-0.4877325886
297°-1.9626105055-0.5095254495
298°-1.8807264653-0.5317094317
299°-1.8040477553-0.5543090515
300°-1.7320508076-0.5773502692
301°-1.6642794824-0.6008606190
302°-1.6003345290-0.6248693519
303°-1.5398649638-0.6494075932
304°-1.4825609685-0.6745085168
305°-1.4281480067-0.7002075382
306°-1.3763819205-0.7265425280
307°-1.3270448216-0.7535540501
308°-1.2799416322-0.7812856265
309°-1.2348971565-0.8097840332
310°-1.1917535926-0.8390996312
311°-1.1503684072-0.8692867378
312°-1.1106125148-0.9004040443
313°-1.0723687100-0.9325150861
314°-1.0355303138-0.9656887748
315°-1-1
316°-0.9656887748-1.0355303138
317°-0.9325150861-1.0723687100
318°-0.9004040443-1.1106125148
319°-0.8692867378-1.1503684072
320°-0.8390996312-1.1917535926
321°-0.8097840332-1.2348971565
322°-0.7812856265-1.2799416322
323°-0.7535540501-1.3270448216
324°-0.7265425280-1.3763819205
325°-0.7002075382-1.4281480067
326°-0.6745085168-1.4825609685
327°-0.6494075932-1.5398649638
328°-0.6248693519-1.6003345290
329°-0.6008606190-1.6642794824
330°-0.5773502692-1.7320508076
331°-0.5543090515-1.8040477553
332°-0.5317094317-1.8807264653
333°-0.5095254495-1.9626105055
334°-0.4877325886-2.0503038416
335°-0.4663076582-2.1445069205
336°-0.4452286853-2.2460367739
337°-0.4244748162-2.3558523658
338°-0.4040262258-2.4750868534
339°-0.3838640350-2.6050890647
340°-0.3639702343-2.7474774195
341°-0.3443276133-2.9042108777
342°-0.3249196962-3.0776835372
343°-0.3057306815-3.2708526185
344°-0.2867453858-3.4874144438
345°-0.2679491924-3.7320508076
346°-0.2493280028-4.0107809335
347°-0.2308681911-4.3314758743
348°-0.2125565617-4.7046301095
349°-0.1943803091-5.1445540160
350°-0.1763269807-5.6712818196
351°-0.1583844403-6.3137515147
352°-0.1405408347-7.1153697224
353°-0.1227845609-8.1443464280
354°-0.1051042353-9.5143644542
355°-0.0874886635-11.4300523028
356°-0.0699268119-14.3006662567
357°-0.0524077793-19.0811366877
358°-0.0349207695-28.6362532829
359°-0.0174550649-57.2899616308
360°

Видео

Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x, нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга,   . При этом получаются следующие формулы.

  при  .   при  . где Bn – числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения: ; ; где   . Либо по формуле Лапласа:

Определение

Геометрический смысл понятия таков: в контексте прямоугольного треугольника тангенс угла – это отношение катета противолежащего к катету прилежащему. Рассмотрим это отношение на конкретной фигуре для удобства понимания.

В данном треугольнике тангенс угла альфа – э

В данном треугольнике тангенс угла альфа – это отношение С к А. Теперь рассмотрим другой острый угол – β (бета). Для бета тангенс угла – это отношение А к С.

Теперь перейдем к определению тангенса, которое несет алгебраический смысл, для этого нам понадобится единичная окружность.

Для того чтобы отметить в декартовой системе коорд

Для того чтобы отметить в декартовой системе координат численное значение тангенса необходимо для начала провести прямую х = 1, которая будет перпендикулярна оси абсцисс и параллельна оси ординат. После чего отложим от оси абсцисс угол альфа и продлим его сторону до пересечения с прямой х = 1. Ордината точки пересечения в конкретной ситуации будет являться численным значением тангенса отложенного угла.

С точки зрения алгебры, определение тангенса имеет следующий вид: тангенс угла – это отношение синуса данного угла к его косинусу.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол радиан.

Тангенс острого угла

Пример:

1) Пусть дан угол и нужно определить тагенс этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить тангенс.

Тангенс — это отношение

Итак, есть два определения:

  1. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

    Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.

  2. Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

    Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.

Приняты обозначения:

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Свойства тангенса и котангенса

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n — целое).

y = tg x y = ctg x
Область определения и непрерывность
Область значений –∞ < y < +∞ –∞ < y < +∞
Возрастание
Убывание
Экстремумы
Нули, y =
Точки пересечения с осью ординат, x = y =

График функции тангенс (y=tg x)

Построим график функции тангенс на интервале   	     . Выберем контрольные точки:

Отметим эти точки на координатной плоскости XOY и проведем через них плавную кривую (Рис. 2)

Учитывая свойство 1 построим симметричную к этой кривой относительно начала координат (Рис.3)

Функция тангенс периодичная (свойство 2) с основным периодом π. Тогда на графике функции тангенс, ветвь на рисунке Рис.2 повторяется бесконечное число раз от -∞ до &#8734:

В точках Обратная к тангенсу функция функция имеет разрыв. Каждая прямая вида Обратная к тангенсу функция является вертикальной асимптотой графика функции.

Обратная к тангенсу функция

Арктангенс x – это обратная функция к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равняется х (tg y = x), значит арктангенс x равен у:

arctg x = tg-1 x = y

Например:

arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад

Теги

Популярные:

Последние:

Adblock
detector