Содержание материала
Наименьшее значение функции онлайн
Чтобы найти наименьшее значение заданной функции, то стоит воспользоваться сервисом на сайте "Контрольная работа РУ".
На примере функции 
как можно найти наименьшее значение онлайн.
Итак:
1. Вам нужно перейти на страницу сервиса по исследованию функций онлайн и построения графиков.
2. Для указанного примера вбиваем функцию x^2 + 5*x — 1 в форму:
3. После того как вбили функцию, для которой надо найти наименьшее значение, то нажимаем кнопку "Найти наименьшее значение!"
4. Ждём, когда сервер произведёт исследование функции (1-2 сек) и вы увидите результат данного исследования. В том числе там будет подробное решение по нахождению наименьшего значения функции. Я скопировал часть результата исследования для моего примера, которая связана с вычислением минимального значения функции:
Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
- x=-5/2. Точка: (-5/2, -29/4)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
- Минимумы функции в точках:
- -5/2
- Максимумов у функции нету
- Возрастает на промежутках: [-5/2, oo)
- Убывает на промежутках: (-oo, -5/2]
Видим, что наименьшее значение функции для моего примера найдено и равно y min = -5/2 = — 2.5
Тэги: функция
Видео
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения ( и ) в стационарных точках, расположенных на отрезке .
Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.
На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка . Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ y = 2x^3 — 3x^2 — 4 $ на отрезке $ [0;2] $ |
| Решение |
| Функция представляет собой кубический многочлен. Точек разрыва нет, значит функция непрерывна на отрезке $ [0;2] $. Находим производную: $$ y’ = (2x^3 — 3x^2 — 4)’ = 6x^2 — 6x $$ Приравниваем производную к нулю. Решаем уравнение и получаем критические точки: $$ 6x^2 — 6x = 0 $$ $$ 6x(x — 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, x_2 = 1 $$ Проверяем принадлежность полученных точек отрезку $ [0;2] $: $$ x_1 \in [0;2], x_2 \in [0;2] $$ Так как обе точки принадлежат отрезку, то вычисляем в них значение функции $ f(x) $, так же значение этой функции на концах интервала $ [0;2] $: $$ y(x_1) = y(a) = f(0) = 2 \cdot 0^3 — 3 \cdot 0^2 — 4 = -4 $$ $$ y(x_2) = y(1) = 2 \cdot 1^3 — 3 \cdot 1^2 — 4 = -5 $$ $$ y(b) = y(2) = 2 \cdot 2^3 — 3 \cdot 2^2 — 4 = 0 $$ Среди полученных значений наибольшее $ M = 0 $, наименьшее $ m = -5 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ M = 0, m = -5 $$ |
| Пример 2 |
| Найти наименьшее и наибольшее значение функции $ y = \frac{4x^2}{3+x^2} $ на $ [-1;1] $ |
| Решение |
| Функция непрерывна на $ x \in [-1;1] $ так как знаменатель не обращается в ноль ни при каком $ x $. Выполняем нахождение производной: $$ y’ = (\frac{4x^2}{3+x^2})’ = \frac{(4x^2)'(3+x^2)-(4x^2)(3+x^2)’}{(3+x^2)^2} = $$ $$ = \frac{8x(3+x^2)-(4x^2)(2x)}{(3+x^2)^2} = \frac{24x+8x^3-8x^3}{3+x^2)^2} = \frac{24x}{(3+x^2)^2} $$ Приравниваем полученную производную к нулю и вычисляем критические точки: $$ \frac{24x}{(3+x^2)^2} = 0 $$ $$ 24x = 0, 3+x^2 \neq 0 $$ $$ x = 0 $$ Получена единственная критическая точка $ x = 0 $, которая принадлежит $ [-1; 1] $. Вычисляем значение функции $ f(x) $ в критической точке и на концах интервала $ [-1;1] $: $$ y(-1) = \frac{4\cdot (-1)^2}{3+(-1)^2} = \frac{4}{4}=1 $$ $$ y(0) = \frac{0}{3} = 0 $$ $$ y(1) = \frac{4\cdot 1^2}{3+1^2} = \frac{4}{4} = 1 $$ Из полученных значений видно, что максимальное значение $ M = 1 $ и минимальное значение $ m = 0 $. |
| Ответ |
| $$ m = 0, M = 1 $$ |