Содержание материала
Можно ли извлекать корень из отрицательного числа?
Извлечение корня из отрицательного числа невозможно, если речь идёт о квадратном корне, либо о любом другом с четной степенью, так как любое число (даже отрицательное), возведённое в любую четную степень будет положительным. При этом, например, квадратный корень из 4 может быть равен как +2, как и -2.
√4 = ±2
Извлечь корень с нечетной степенью из отрицательного числа вполне возможно. Например:
3√-8 = -2, так как -2³ = -2⋅(-2)⋅(-2) = 4⋅(-2) = -8
Доказательство иррациональности
Применим доказательство от противного: допустим, 
рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби 
, где 
и 
— целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
.
Отсюда следует, что 
чётно, значит, чётно и 
. Пусть 
, где 
целое. Тогда
Следовательно, 
чётно, значит, чётно и 
. Мы получили, что 
и 
чётны, что противоречит несократимости дроби 
. Значит, исходное предположение было неверным, и 
— иррациональное число.
Видео
История
Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.
Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение 
в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:
Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:
обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является . Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается .
Метод Герона
Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:
√R = √a + (R — a) / 2√a,
где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.
Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:
√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.
Теперь проверим точность метода:
10,55² = 111,3025.
Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:
√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Проверим точность расчёта:
10,536² = 111,0073.
После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.
Применение
Геометрия и тригонометрия
Квадратный корень из 3 равен расстоянию между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1
Если длина стороны равностороннего треугольника равна 1, то каждая высота этого треугольника равна 
равен также:
- тангенсу 60°;
- расстоянию между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1;
- длине диагонали куба со стороной 1;
- длине стороны равностороннего треугольника, у которого радиус описанной окружности равен 1.
Электроэнергетика
При трёхфазной системе токов модуль напряжения между двумя фазами (линейное напряжение) в 
больше модуля фазного напряжения.