Как найти обратную функцию

Шаги

  1. 2

    В данной функции поменяйте местами «х» и «у». Помните, что f(х) — другое написание «у». «f(x)» или «y» представляет собой функцию, а «х» — переменную. Чтобы найти обратную функцию, нужно поменять местами функцию и переменную. Пример: рассмотрим функцию f(x) = (4x+3)/(2x+5), которая является биективной. Поменяв местами «х» и «у», получите x = (4y + 3)/(2y + 5).

  2. 3

    Найдите «у». Решите новое уравнение и найдите «у». Возможно, чтобы найти значение выражения и упростить его, вам понадобятся алгебраические приемы вроде умножения дробей или разложения на множители. Решение нашего примера: х = (4y + 3)/(2y + 5) х(2y + 5) = 4y + 3 — избавьтесь от дроби. Для этого умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби (2у + 5). 2xy + 5x = 4y + 3 — раскройте скобки. 2xy — 4y = 3 — 5x — перенесите все члены с переменной (в данном случае это «у») на одну сторону уравнения. у (2x — 4) = 3 — 5x — вынесите «у» за скобку. у = (3 — 5x)/(2x — 4) — разделите обе части уравнения на (2х-4), чтобы получить окончательный ответ.

Видео

Свойства корня n-ой степени

Далее рассмотрим некоторые свойства корней степени n, помогающие вычислять их значения. Сразу скажем, что они во многом идентичны свойствам квадратного корня.

Для доказательства этого свойства правую часть в n

Для доказательства этого свойства правую часть в n-ую степень:

Приведем примеры использования этого свойства:

Приведем примеры использования этого свойства:

Отсюда следует, что множители можно вносить и выно

Отсюда следует, что множители можно вносить и выносить из-под знака корня:

Следующее свойство помогает извлекать корни из дро

Следующее свойство помогает извлекать корни из дробей.

Доказывается это свойство так же, как и первое. Во

Доказывается это свойство так же, как и первое. Возведем в n-ую степень правую часть формулы:

Продемонстрируем применение доказанного тождества:

Продемонстрируем применение доказанного тождества:

Заметим, что если под корнем находится степень как

Заметим, что если под корнем находится степень какого-то числа, то ее вынести из-под радикала:

Доказать это можно, разложив число am в произведен

Доказать это можно, разложив число am в произведение:

am =a•a•a…•a

Всего справа стоит множителей. Теперь извлечем корень степени n:

Справа всё те же m множителей, а потому

Справа всё те же m множителей, а потому

Таким образом, получаем, что

Таким образом, получаем, что

Покажем несколько примеров использования этого пра

Покажем несколько примеров использования этого правила:

Далее посмотрим, как извлекать корень из другого к

Далее посмотрим, как извлекать корень из другого корня.

Для доказательства возведем корень в левой части ф

Для доказательства возведем корень в левой части формулы в степень mn:

По определению корня получаем, что

По определению корня получаем, что

Проиллюстрируем использование данного правила:

Проиллюстрируем использование данного правила:

Последнее свойство, которое нам осталось изучить,

Последнее свойство, которое нам осталось изучить, называют основным свойством корня.

Доказательство записывается всего в одну строчку:

Доказательство записывается всего в одну строчку:

Степени в корне и под ним можно «сокращать»:

Степени в корне и под ним можно «сокращать»:

Кубический корень

Ранее мы изучили понятие квадратного корня. Напомним, что извлечение квадратного корня – это операция, обратная возведению в квадрат. Другими словами, функция

является обратной для у = х2.

является обратной для у = х2.

Встает вопрос – а можно ли придумать функцию, обратную возведению в куб? Конечно же да, ведь мы убедились в том, что функция у = х3 обратима. Называют же функцию, обратную у = х3, кубическим корнем.

Можно дать и другое определение, не использующее п

Можно дать и другое определение, не использующее понятие функции:

Например, мы знаем, что число 5 в кубе равно 125:

Например, мы знаем, что число 5 в кубе равно 125:

53 = 125

Это значит, что кубический корень из 125 равен 5.

Для обозначения кубического корня используют тот же знак радикала, что и для квадратного корня. Чтобы их отличать друг от друга, в случае с кубическим корнем перед знаком радикала ставят тройку:

Заметим важное отличие кубического и квадратного к

Заметим важное отличие кубического и квадратного корня. Мы привыкли, что под знаком радикала не должно стоять отрицательное число. Но кубический корень из отрицательного числа извлечь можно. Например, мы знаем, что (– 6)3 = – 216. Отсюда следует, что

График кубического корня можно получить, просто по

График кубического корня можно получить, просто построив функцию, обратную у = х3:

Свойства обратной функции

Приведем основные свойства обратной функции, используемые при решении задач и построении графиков:

  1. Поскольку можно считать, что обратная функция отображает зависимость переменной x от y, область значений f1(x) — это область допустимых значений (область определения) исходной функции, а область определения, напротив, — область значений исходной функции. То есть: E(f1(x))=D(f(x)) и D(f1(x))=E(f(x)).
  2. Функции f(x)иf1(x)— взаимно обратные, то есть f1(x)— обратная к f(x), а f(x) — обратная к f1(x).
  3. При графическом представлении f(x) и f1(x) окажутся симметричными. Осью симметрии будет являться прямая y=x.

Графики взаимно обратных функций

  • Основные взаимно обратные функции: степенные

Если у нас есть степенная функция y=xa, то при x> степенная функция x=y1a также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно y=xa и x=y1a.

На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

 Основные взаимно обратные функции: показательные

  • Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические

Возьмем a,которое будет положительным числом, не равным 1.

Графики для функций с a>1 и a<1 будут выглядеть так:

 Основные взаимно обратные функции: тригонометриче

  • Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические

Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):

График главной ветви косинуса и арккосинуса выгляд

График главной ветви косинуса и арккосинуса выглядит так:

График главной ветви арктангенса и тангенса:

График главной ветви арктангенса и тангенса:

График главной ветви арккотангенса и котангенса бу

График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:

Если же вам требуется построить обратные ветви, от

Если же вам требуется построить обратные ветви, отличные от главных, то обратную тригонометрическую функцию при этом мы сдвигаем вдоль оси Oy на нужное число периодов. Так, если требуется обратная функция для ветви тангенса на π2; 3π2, то мы можем сдвинуть ее на величину π вдоль оси абсцисс. График будет представлять собой ветвь арктангенса, которая сдвинута на π вдоль оси ординат.

Это все свойства обратных функций, о которых мы хо

Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги

Теги

Популярные:

Последние:

Adblock
detector