Как найти обратную функцию

Шаги

2. Читайте также: Как в Яндекс Дзене посмотреть на какие каналы я подписана?
   2

   В данной функции поменяйте местами «х» и «у». Помните, что f(х) — другое написание «у». «f(x)» или «y» представляет собой функцию, а «х» — переменную. Чтобы найти обратную функцию, нужно поменять местами функцию и переменную. Пример: рассмотрим функцию f(x) = (4x+3)/(2x+5), которая является биективной. Поменяв местами «х» и «у», получите x = (4y + 3)/(2y + 5).

3. 3

   Найдите «у». Решите новое уравнение и найдите «у». Возможно, чтобы найти значение выражения и упростить его, вам понадобятся алгебраические приемы вроде умножения дробей или разложения на множители. Решение нашего примера: х = (4y + 3)/(2y + 5) х(2y + 5) = 4y + 3 — избавьтесь от дроби. Для этого умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби (2у + 5). 2xy + 5x = 4y + 3 — раскройте скобки. 2xy — 4y = 3 — 5x — перенесите все члены с переменной (в данном случае это «у») на одну сторону уравнения. у (2x — 4) = 3 — 5x — вынесите «у» за скобку. у = (3 — 5x)/(2x — 4) — разделите обе части уравнения на (2х-4), чтобы получить окончательный ответ.

   Читайте также: Как войти в канал "Поиск спутников

Видео

Свойства корня n-ой степени

Далее рассмотрим некоторые свойства корней степени n, помогающие вычислять их значения. Сразу скажем, что они во многом идентичны свойствам квадратного корня.

Для доказательства этого свойства правую часть в n-ую степень:

Приведем примеры использования этого свойства:

Отсюда следует, что множители можно вносить и выносить из-под знака корня:

Следующее свойство помогает извлекать корни из дробей.

Доказывается это свойство так же, как и первое. Возведем в n-ую степень правую часть формулы:

Продемонстрируем применение доказанного тождества:

Заметим, что если под корнем находится степень какого-то числа, то ее вынести из-под радикала:

Доказать это можно, разложив число a^m в произведение:

a^m =a•a•a…•a

Всего справа стоит m множителей. Теперь извлечем корень степени n:

Справа всё те же m множителей, а потому

Таким образом, получаем, что

Покажем несколько примеров использования этого правила:

Далее посмотрим, как извлекать корень из другого корня.

Для доказательства возведем корень в левой части формулы в степень mn:

По определению корня получаем, что

Проиллюстрируем использование данного правила:

Последнее свойство, которое нам осталось изучить, называют основным свойством корня.

Доказательство записывается всего в одну строчку:

Степени в корне и под ним можно «сокращать»:

Кубический корень

Ранее мы изучили понятие квадратного корня. Напомним, что извлечение квадратного корня – это операция, обратная возведению в квадрат. Другими словами, функция

является обратной для у = х².

Встает вопрос – а можно ли придумать функцию, обратную возведению в куб? Конечно же да, ведь мы убедились в том, что функция у = х³ обратима. Называют же функцию, обратную у = х³, кубическим корнем.

Можно дать и другое определение, не использующее понятие функции:

Например, мы знаем, что число 5 в кубе равно 125:

5³ = 125

Это значит, что кубический корень из 125 равен 5.

Для обозначения кубического корня используют тот же знак радикала, что и для квадратного корня. Чтобы их отличать друг от друга, в случае с кубическим корнем перед знаком радикала ставят тройку:

Заметим важное отличие кубического и квадратного корня. Мы привыкли, что под знаком радикала не должно стоять отрицательное число. Но кубический корень из отрицательного числа извлечь можно. Например, мы знаем, что (– 6)³ = – 216. Отсюда следует, что

График кубического корня можно получить, просто построив функцию, обратную у = х³:

Свойства обратной функции

Приведем основные свойства обратной функции, используемые при решении задач и построении графиков:

1. Поскольку можно считать, что обратная функция отображает зависимость переменной x от y, область значений $f^{—1}\left(x\right)$ — это область допустимых значений (область определения) исходной функции, а область определения, напротив, — область значений исходной функции. То есть: $E\left(f^{—1}\right(x\left)\right)=D\left(f\right(x\left)\right)$ и $D\left(f^{—1}\right(x\left)\right)=E\left(f\right(x\left)\right).$
2. Функции $f\left(x\right)иf^{—1}\left(x\right)$— взаимно обратные, то есть $f^{—1}\left(x\right)$— обратная к f(x), а f(x) — обратная к $f^{—1}\left(x\right)$.
3. При графическом представлении f(x) и $f^{—1}\left(x\right)$ окажутся симметричными. Осью симметрии будет являться прямая y=x.

Графики взаимно обратных функций

• Основные взаимно обратные функции: степенные

Если у нас есть степенная функция $y=x^a$, то при $x>$ степенная функция $x=y^{\frac{1}{a}}$ также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно $y=x^a$ и $x=y^{\frac{1}{a}}$.

На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

• Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические

Возьмем a,которое будет положительным числом, не равным $1$.

Графики для функций с $a>1$ и $a<1$ будут выглядеть так:

• Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические

Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):

График главной ветви косинуса и арккосинуса выглядит так:

График главной ветви арктангенса и тангенса:

График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:

Если же вам требуется построить обратные ветви, отличные от главных, то обратную тригонометрическую функцию при этом мы сдвигаем вдоль оси $Oy$ на нужное число периодов. Так, если требуется обратная функция для ветви тангенса на $\left(\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2}\right)$, то мы можем сдвинуть ее на величину $\pi$ вдоль оси абсцисс. График будет представлять собой ветвь арктангенса, которая сдвинута на $\pi$ вдоль оси ординат.

Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги

Теги