Производная дроби онлайн

Содержание материала

Производная дроби онлайн
Общее правило
Видео
Формула производной от дроби
Производная степенной функции
Продолжаем искать производные вместе

Для нахождения производных от любых сложный функций, содержащих дробь используйте калькулятор производных на этом сайте. Этот калькулятор находится по ссылке:

Например, если надо найти производную от дроби, в числителе которой x, в знаминателе (1-x³): x/(1-x^3)

Вводим в форму функцию x/(1-x^3) как изображено на рисунке выше

Нажимаем на кнопку "Найти производную":

Результат вычисления производной от функции f(x) = x/(1-x^3):

Там же вы можете получить подробное решение производной:

Общее правило

Производную от дроби очень просто посчитать (по-крайней мере от простых дробей)

Производная от дроби "единица, делённая на x" равна минус единице, делённой на x в квадрате.

Тэги: производная

Видео

Формула производной от дроби

Формула ПД имеет следующий вид:

$\left(\frac\upsilon\nu\right)’=\frac{\upsilon’\nu-\upsilon\nu’}{v^2}$

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

При этом важно отметить, что нахождение ПД нельзя осуществлять с помощью деления производной числителя на производную знаменателя. Два эти действия будут иметь разные значения после подсчетов.

Приведем доказательство данной формулы. Рассмотрим выражение y=\frac\upsilon\nu. Все представленные переменные – это функции от х. Умножим их на $\nu$. Получим $y\times\nu=\upsilon$.

Дифференцируем по х, применяя формулу производной произведения двух функций, то есть:

$\left(\upsilon\times\nu\right)’=\upsilon’\times\nu+\upsilon\times\nu’$

Тогда выводим:

$y’\times\nu+y\times\nu’=\upsilon’$

Из этого вычисляем нужную нам производную:

$y’\times\nu=\upsilon’-y\times\nu’=\upsilon’-\frac\upsilon\nu\times\nu’=\frac{\upsilon’v-\upsilon\nu’}\nu;\;y’=\frac{\upsilon’v-\upsilon\nu’}{\nu^2}$

Что и требовалось доказать.

Следует также привести таблицу с производными часто встречающихся функций:

Производная степенной функции

К сожалению, подобное определение нас совершено не устраивает. Все эти формулы, картинки, углы не дают нам ни малейшего представления о том, как считать реальную производную в реальных задачах. Поэтому давайте немного отвлечемся от формального определения и рассмотрим более действенные формулы и приемы, с помощью которых уже можно решать настоящие задачи.

Начнем с самых простых конструкций, а именно, функций вида $y={{x}^{n}}$, т.е. степенных функций. В этом случае мы можем записать следующее: ${y}’=n\cdot {{x}^{n-1}}$. Другими словами, степень, которая стояла в показателе, показывается в множителе спереди, а сам показатель уменьшается на единицу. Например:

\[\begin{align}& y={{x}^{2}} \\& {y}’=2\cdot {{x}^{2-1}}=2x \\\end{align}\]

А вот другой вариант:

\[\begin{align}& y={{x}^{1}} \\& {y}’={{\left( x \right)}^{\prime }}=1\cdot {{x}^{0}}=1\cdot 1=1 \\& {{\left( x \right)}^{\prime }}=1 \\\end{align}\]

Пользуясь этими простыми правилами, давайте попробуем снять штрих следующих примеров:

\[f\left( x \right)={{x}^{6}}\]

Итак, мы получаем:

\[{{\left( {{x}^{6}} \right)}^{\prime }}=6\cdot {{x}^{5}}=6{{x}^{5}}\]

Теперь решим второе выражение:

\[\begin{align}& f\left( x \right)={{x}^{100}} \\& {{\left( {{x}^{100}} \right)}^{\prime }}=100\cdot {{x}^{99}}=100{{x}^{99}} \\\end{align}\]

Разумеется, это были очень простые задачи. Однако реальные задачи более сложные и они не ограничиваются одними лишь степенями функции.

Итак, правило № 1 – если функция представлена в виде других двух, то производная этой суммы равна сумме производных:

\[{{\left( f+g \right)}^{\prime }}={f}’+{g}’\]

Аналогично, производная разности двух функций равна разности производных:

\[{{\left( f-g \right)}^{\prime }}={f}’-{g}’\]

Пример:

\[{{\left( {{x}^{2}}+x \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{{\left( x \right)}^{\prime }}=2x+1\]

Кроме того, есть еще одно важное правило: если перед некоторой $f$ стоит константа $c$, на которую эта функция умножается, то $f$ всей этой конструкции считается так:

\[{{\left( c\cdot f \right)}^{\prime }}=c\cdot {f}’\]

Пример:

\[{{\left( 3{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3\cdot 3{{x}^{2}}=9{{x}^{2}}\]

Наконец, еще одно очень важное правило: в задачах часто встречается отдельное слагаемое, которое вообще не содержит $x$. Например, мы можем наблюдать это в наших сегодняшних выражениях. Производная константы, т. е., числа, никак не зависящего от $x$, всегда равна нулю, причем совершенно неважно, чему равна константа $c$:

\[{{\left( c \right)}^{\prime }}=0\]

Пример решения:

\[{{\left( 1001 \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{1}{1000} \right)}^{\prime }}=0\]

Еще раз ключевые моменты:

Производная суммы двух функций всегда равна сумме производных: ${{\left( f+g \right)}^{\prime }}={f}’+{g}’$;
По аналогичным причинам производная разности двух функций равна разности двух производных: ${{\left( f-g \right)}^{\prime }}={f}’-{g}’$;
Если у функции присутствует множитель константа, то эту константу можно выносить за знак производной: ${{\left( c\cdot f \right)}^{\prime }}=c\cdot {f}’$;
Если вся функция представляет собой константу, то ее производная всегда ноль: ${{\left( c \right)}^{\prime }}=0$.

Давайте посмотрим, как все это работает на реальных примерах. Итак:

\[y={{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7\]

Записываем:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7 \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{5}} \right)}^{\prime }}-{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{7}’= \\& =5{{x}^{4}}-3{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+0=5{{x}^{4}}-6x \\\end{align}\]

В этом примере мы видим и производную суммы, и производную разности. Итого, производная равна $5{{x}^{4}}-6x$.

Переходим ко второй функции:

\[f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2x+2\]

Записываем решение:

\[\begin{align}& {{\left( 3{{x}^{2}}-2x+2 \right)}^{\prime }}={{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-{{\left( 2x \right)}^{\prime }}+{2}’= \\& =3{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-2{x}’+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end{align}\]

Вот мы и нашли ответ.

Переходим к третьей функции — она уже посерьезней:

\[y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-5\]

Решаем:

\[\begin{align}& {{\left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-5 \right)}^{\prime }}={{\left( 2{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{{\left( \frac{1}{2}x \right)}^{\prime }}-{5}’= \\& =2{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-3{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+\frac{1}{2}\cdot {x}’=2\cdot 3{{x}^{2}}-3\cdot 2x+\frac{1}{2}\cdot 1=6{{x}^{2}}-6x+\frac{1}{2} \\\end{align}\]

Ответ мы нашли.

Переходим к последнему выражению — самому сложному и самому длинному:

\[y=6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5,{{x}_{0}}=-1\]

Итак, считаем:

\[\begin{align}& {{\left( 6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5 \right)}^{\prime }}={{\left( 6{{x}^{7}} \right)}^{\prime }}-{{\left( 14{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}+{{\left( 4x \right)}^{\prime }}+{5}’= \\& =6\cdot 7\cdot {{x}^{6}}-14\cdot 3{{x}^{2}}+4\cdot 1+0=42{{x}^{6}}-42{{x}^{2}}+4 \\\end{align}\]

Но на этом решение не заканчивается, потому что нас просят не просто снять штрих, а посчитать ее значение в конкретной точке, поэтому подставляем в выражение −1 вместо $x$:

\[{y}’\left( -1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Идем далее и переходим к еще более сложным и интересным примерам. Дело в том, что формула решения степенной производной ${{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}$ имеет еще более широкую область применения, чем обычно принято считать. С ее помощью можно решать примеры с дробями, корнями и т. д. Именно этим мы сейчас и займемся.

Для начала еще раз запишем формулу, которая поможет нам найти производную степенной функции:

\[{{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

А теперь внимание: до сих пор мы рассматривали в качестве $n$ лишь натуральные числа, однако ничего не мешаем рассмотреть дроби и даже отрицательные числа. Например, мы можем записать следующее:

\[\begin{align}& \sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}} \\& {{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot {{x}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\\end{align}\]

Ничего сложного, поэтому посмотрим, как эта формула поможет нам при решении более сложных задач. Итак, пример:

\[y=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}\]

Записываем решение:

\[\begin{align}& \left( \sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x} \right)={{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt[3]{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt[4]{x} \right)}^{\prime }} \\& {{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\& {{\left( \sqrt[3]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot {{x}^{-\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \\& {{\left( \sqrt[4]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{4}{{x}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \\\end{align}\]

Возвращаемся к нашему примеру и записываем:

\[{y}’=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}+\frac{1}{4\sqrt[4]{{{x}^{3}}}}\]

Вот такое сложное решение.

Переходим ко второму примеру — здесь всего два слагаемых, но каждое из них содержит как классическую степень, так и корни.

\[y={{x}^{3}}\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}\sqrt[3]{x}\]

Сейчас мы узнаем, как найти производную степенной функции, которая, кроме того, содержит и корень:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{3}}\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}\sqrt[3]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{3}}\cdot \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{3}}\cdot {{x}^{\frac{2}{3}}} \right)}^{\prime }}= \\& ={{\left( {{x}^{3+\frac{2}{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{11}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{\frac{8}{3}}}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2\frac{2}{3}}}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2}}\cdot \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \\& {{\left( {{x}^{7}}\cdot \sqrt[3]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{7}}\cdot {{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{7\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=7\frac{1}{3}\cdot {{x}^{6\frac{1}{3}}}=\frac{22}{3}\cdot {{x}^{6}}\cdot \sqrt[3]{x} \\\end{align}\]

Оба слагаемых посчитаны, осталось записать окончательный ответ:

\[{y}’=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2}}\cdot \sqrt[3]{{{x}^{2}}}+\frac{22}{3}\cdot {{x}^{6}}\cdot \sqrt[3]{x}\]

Мы нашли ответ.

Продолжаем искать производные вместе

Пример 12. Найти производную функции

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных — под номером 3), получим

Пример 13. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 14. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 15.Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных — номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель — также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя — это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю: