Содержание материала
Определение точки разрыва
Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:
Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:
- первый род;
- второй род.
Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.
К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.
Классификация точек разрыва.
Устранимый разрыв первого рода
Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х, когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.: limx→x-f(x)=limx→x+f(x)≠f(x)
Задана функция f(x)=x2-25x-5. Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип. Решение Сначала обозначим область определения функции: D(f(x))⇔Dx2-25x-5⇔x-5≠⇔x∈(-∞; 5)∪(5; +∞) В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х= 5. Исследуем функцию на непрерывность в этой точке. Выражение x2-25x-5 упростим: x2-25x-5=(x-5)(x+5)x-5=x+5. Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g(x)=x+5 является непрерывной при любом действительном x, тогда: limx→5-(x+5)=5+5=10limx→5+(x+5)=5+5=10 Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х= 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.
Видео
Исследование функций на непрерывность
При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.
- Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. К ним относятся следующие функции: , а также постоянная и обратные к ним функции. См. «Справочник по элементарным функциям».
- Сумма, разность и произведение непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве. Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций»
- Сложная функция непрерывна в точке , если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . См. «Предел и непрерывность сложной функции»
Точка устранимого разрыва
Определение
Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции $f(x)$ в точке $a$: $f(a) \neq f(a-0)=f(a+0)$ или функция $f(x)$ не определена в точке $a$, то точка $a$ называется точкой устранимого разрыва.
Пример
Рассмотрим функцию $f(x)=\left\{\begin{array}{l}{3 x+1, x \lt 0} \\ {1-4 x, x>0} \\ {e^{2}, x=0}\end{array}\right.$ . Найдем односторонние пределы и значение функции в точке $x=0$: $f(0)=e^{2}$ $f(0-0)=\lim _{x \rightarrow 0-} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0-}(3 x+1)=1$ $f(0+0)=\lim _{x \rightarrow 0+} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0+}(1-4 x)=1$ Так как $f(0-0)=f(0+0)$ и не равны значению функции в точке, то точка $x=0$ — точка устранимого разрыва.
Точки разрыва второго рода
Точка разрыва второго рода: точка, в которой хотя бы один из пределов (левый или правый) — бесконечный (равен бесконечности).
Пример 3. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции 
Решение. Из выражения степени при e видно, что в точке 
функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:
,
.
Один из пределов равен бесконечности, поэтому точка 
— точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва — под примером.
Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.
И ещё пара примеров, решаемых вместе, а далее — для самостоятельного решения.
Пример 4. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции 
Решение. Из выражения степени при 2 видно, что в точке 
функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:
.
Пределы не равны и конечны, поэтому точка 
— точка неустранимого разрыва первого рода. График функции с точкой разрыва — под примером.
Пример 5. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции 
Решение. Очевидно, что в точке 
функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:
,
.
Оба предела бесконечны, поэтому точка 
— точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва — под примером.
