Содержание материала
- Угол между плоскостями теория
- Видео
- Прямоугольный параллелепипед
- Двугранный угол определения
- Расположение плоскостей и формула вычисления угла между ними
- Параллельность
- Доказательство
- Перпендикулярность
- Доказательство
- Доказательство
- Угол между плоскостями
- Многогранный угол
- Как найти угол между плоскостями?
- Геометрический способ
- Алгебраический способ
Угол между плоскостями теория
Пусть заданы две плоскости α и β общими уравнениями
A1x+B1y+C1z+D1=0, | (1) |
A2x+B2y+C2z+D2=0 | (2) |
Угол между этими плоскостями сводится к определению угла φ между нормальными векторами n1=(A1, B1, C1) и n2=(A2, B2, C2) этих плоскостей.
Из определения скалярного произведения, имеем
![]() | (3) |
Тогда из (3) можно найти косинус угла между нормальными векторами n1 и n2:
![]() | (4) |
Учитывая, что (n1, n2)=A1A2+B1B2+C1C2 и длины векторов |n1|= и |n2|=
выражение (4) можно записать так:
![]() | (5) |
Таким образом косинус угла между нормальными векторами и, следовательно, косинус угла между плоскостями α и β определяется формулой (5). Далее можно найти угол φ с помощью функции arccos.
Отметим, что пересекающиеся плоскости образую два угла. Другой угол можно найти так: φ‘=180−φ.
Видео
Прямоугольный параллелепипед
Ранее мы уже узнали про параллелепипед. Это фигура с 6 гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Особый интерес представляет его частный случай – прямоугольный параллелепипед.
Такую форму имеют многие шкафы, другие предметы мебели, коробки для обуви, небоскребы. Изображают прямоугольный параллелепипед так:
Для обозначения вершин параллелепипеда применяют латинские буквы. Очень часто для вершин одной грани используют 4 буквы без индекса (на рисунке выше это А, В, С, D), а другие 4 вершины обозначают такими же буквами, но с нижним индексом 1: А1, B1, C1 и D1. При этом одноименные вершины (например, А и А1) находятся на одном ребре, которое располагается на рисунке вертикально.
Докажем некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.
Например, ребро АD пересекается с гранями АВВ1А1 и CDD1C1. Значит, оно перпендикулярно этим граням (точнее говоря, оно перпендикулярно плоскостям, проходящим через эти грани). Действительно, AD⊥DC, ведь ∠ADC является углом в прямоугольнике АВСD и потому он прямой. Аналогично и AD⊥DD1, ведь и ADD1A1 – прямоугольник. Получается, что ребро AD перпендикулярно 2 прямым в грани CDD1C1 (которые при этом пересекаются), и потому оно перпендикулярно и всей грани. То же самое можно продемонстрировать для любого ребра прямоугольного параллелепипеда и любой грани, которую она пересекает.
Эти грани пересекаются по ребру А1D1. Этому ребру в свою очередь перпендикулярны ребра АА1 и А1В1, лежащие в гранях ADD1A1 и A1D1C1B1. Значит, ∠АА1В1 и будет углом между этими гранями. Но он составляет 90°, то есть грани перпендикулярны, ч. т. д.
Хотя у прямоугольного параллелепипеда есть 12 граней, многие из них имеют одинаковую длину. Поэтому для описания размеров этой фигуры достаточно указать только три параметра. Обычно их называют длиной, шириной и высотой:
Эти параметры также называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Зная их, можно вычислить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда. Для этого используется следующая теорема:
Действительно, пусть есть прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1. Назовем ребро AD его длиной, АВ – шириной, а ВВ1 – высотой. Пусть необходимо найти длину диагонали В1D:
Сначала построим отрезок BD и рассмотрим ∆ABD. Он прямоугольный, и потому для него верна теорема Пифагора:
Теперь перейдем к ∆В1ВD. Так как ребро BB1 перпендикулярно грани ABCD, то ∠В1ВD – прямой. Тогда и ∆В1ВD – прямоугольный, а потому и для него можно записать теорему Пифагора:
Дополнительно отметим уже известный нам факт, что тот прямоугольный параллелепипед, у которого все стороны одинаковы, именуется кубом. Можно дать и такое определение куба:
Двугранный угол определения
Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.
Вот так:

При этом прямая \( \displaystyle AB\) – это ребро двугранного угла, а полуплоскости \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) – стороны или грани двугранного угла.
Двугранный угол получает обозначение по своему ребру: «двугранный угол \( \displaystyle AB\)».
С понятием двугранного угла тесно связано понятие угол между плоскостями.
Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Итак, внимание! Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что:
Двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!
Расположение плоскостей и формула вычисления угла между ними
Существует несколько вариаций взаимного расположения двух плоскостей.
Параллельность
ТеоремаДве плоскости считаются параллельными в том случае, если у них отсутствуют общие точки.
Возьмем за условие, что плоскости α, расположенной в некоторой прямоугольной системе координат, соответствует общее уравнение: А1х+В1у+С1z+D1=0. А плоскость β определяется общим уравнением вида: А2х+В2у+С2z+D2=0.
Согласно теореме о параллельности плоскостей, чтобы α и β являлись параллельными, достаточно отсутствия решений системы линейных уравнений вида:
\(\left\{\begin{array}{l}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{array}\right.\)
То есть приведенная выше система должна быть несовместной.
Доказательство
Допустим, указанные плоскости, соответствующие уравнениям А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0 параллельны друг другу, следовательно, у них отсутствуют общие точки. Это значит, что нет ни одной точки в прямоугольной системе координат, находящейся в трехмерном пространстве, чьи координаты отвечали бы условиям обоих уравнений одновременно или:
\(\left\{\begin{array}{l}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{array}\right.\)
не имеет решения.
В случае, если данная система уравнений не имеет решений, то в прямоугольной системе координат трехмерного пространства отсутствуют точки с координатами, одновременно отвечающими условиям обоих уравнений, входящих в рассматриваемую систему. Отсюда можно сделать вывод, что плоскости α и β с соответствующими им уравнениями А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0 не обладают ни одной общей точкой, а значит, являются параллельными. Теорема доказана.
Перпендикулярность
Две плоскости перпендикулярны друг другу, в ситуации, когда они при взаимном пересечении образуют прямой угол, то есть угол в 90°.
ТеоремаЕсли одна из двух плоскостей проходит через прямую, которая перпендикулярна другой плоскости, то такие плоскости являются перпендикулярными.
Доказательство
Пусть: AB∈α, AB⊥β, AB∩β=A.
Необходимо доказать, что α⊥β.
- α∩β=AC, причем AB⊥AC по условию.
- Проведем прямую AD, принадлежащую плоскости β и перпендикулярную AC.
- ∠BAD=90°, поскольку AB⊥β. Следовательно, заданные плоскости перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
ТеоремаЯвность перпендикулярных пересекающихся плоскостей достигается при необходимом и достаточном условии, что нормальные векторы данных плоскостей при пересечении образовали прямой угол.
Доказательство
Допустим, в трехмерном пространстве существует некоторая прямоугольная система координат. При наличии нормальных векторов заданных плоскостей α и β с координатами:
\(\overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1),\)
\(\overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2),\)
то необходимо и достаточно, чтобы эти векторы приняли вид:
\(\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{\;n_2}\right)=0\Leftrightarrow A_1\times A_2+B_1\times B_2+C_1\times C_2=0\)
Отсюда следует, что:
\(\overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1),\)
\(\overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2)\)
— нормальные векторы плоскостей α и β. Чтобы заданные плоскости были перпендикулярными, достаточно, чтобы скалярное произведение данных векторов ровнялось нулю, то есть принимало вид:
\(\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{\;n_2}\right)=0\Leftrightarrow A_1\times A_2+B_1\times B_2+C_1\times C_2=0\)
Равенство соблюдено.
Угол между плоскостями
Для вычисления угла между двумя пересекающимися плоскостями используют метод координат. Суть данного способа заключается в нахождении косинуса угла, образованного при пересечении плоскостей.
Предположим, что плоскости P1 и P2 заданы следующими уравнениями:
\(P_1:\;A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\;{\overline N}_1=\left(A_1,B_1,C_1\right);\)
\(P_2:\;A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,\;{\overline N}_2=\left(A_2,B_2,C_2\right)\)
Найдем косинус угла между P1 и P2 по формуле:
\(\cos\left(\overbrace{P_1,P_2}\right)=\frac{\overline{N_1}\times\overline{N_2}}{\left|\overline{N_1}\right|\times\left|\overline{N_2}\right|}\frac{A_1\times A_2+B_1\times B_2+C_1\times C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\times\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\)
Запишем в ответе модуль косинуса угла, поскольку за величину угла между плоскостями принимают острый угол.
Многогранный угол
Возможен случай, когда из одной точки в пространстве выходят не три, а большее количество лучей, причем образуемые ими углы не располагаются в единой плоскости. Такая фигура именуется многогранным углом. Трехгранный угол можно считать его частным случаем. Также его частными случаями будут четырехгранный угол, пятигранный угол, шестигранный угол и т. д.
Более наглядна следующая демонстрация многогранного угла. Построим на плоскости α произвольный многоугольник. Далее выберем какую-нибудь точку вне плоскости α и соединим ее с вершинами многоугольника с помощью лучей. При этом у нас как раз получится многогранный угол. Если, например, в качестве многоугольника мы использовали пятиугольник, то и получим мы пятигранный угол:
Важно отметить, что в данном случае состоит многогранный угол именно из лучей КА1, КА2, КА3…, а не из одноименных отрезков. То есть многогранный угол – это ни в коем случае не многогранник КА1А2А3А4А5, у него есть только одна вершина – точка К. Многогранник КА1А2А3А4А5 – это пирамида, такая фигура изучается в курсе стереометрии чуть позже. Многоугольник А1А2А3А4А5 – это сечение многогранного угла. Углы ∠А1КА2, ∠А2КА3, ∠А3КА4… – это плоские углы многогранного угла.
Заметим, что на исходный многоугольник на плоскости может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Соответственно и многогранный угол может быть как выпуклым, так и невыпуклым:
Так как любой треугольник – это выпуклый многоугольник, то и любой трехгранный угол является выпуклым. В выпуклом угле все его точки лежат по одну сторону от любой плоскости, проходящей, через какие-нибудь два смежных луча угла. Вообще любое сечение многогранного угла представляет собой выпуклый многоугольник.
Докажем важное утверждение:
Для доказательства возьмем произвольный многогранный угол и проведем в нем сечение А1А2А3…Аn, которое будет являться выпуклым многоугольником:
В последнем равенстве в каждой скобке стоят по два плоских угла в тех трехгранных углах, вершины которых совпадают с вершинами многоугольника А1А2А3…Аn. В предыдущей теореме мы выяснили, что эта сумма меньше третьего плоского угла, то есть
В правой части в скобках стоит сумма углов выпуклого n-угольника А1А2А3…Аn. Она, как мы знаем, составляет 180°•(n – 2), то есть
Последнее неравенство и необходимо было доказать.
Как найти угол между плоскостями?
Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.
Геометрический способ
При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ
Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.
Вот такая:
\( \displaystyle \cos \gamma =\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}\) |
Здесь \( \displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}\) — коэффициенты уравнений плоскостей \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) соответственно.
Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!
\( \displaystyle \alpha \): \( \displaystyle {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+D=0\)
\( \displaystyle \beta \): \( \displaystyle {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+D=0\).
Какой же способ лучше? Зависит от задачи.
Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.
А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.
Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать \( \displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}\), а потом ещё и \( \displaystyle \cos \gamma \).
Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.