Как найти площадь поверхности прямого кругового конуса

Примеры задач

Задание 1 Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его радиус равен 16 см, а длина образующей – 5 см.

Решение: Используем соответствующую формулу с известными нам величинами: S = 3,14 ⋅ 16 см ⋅ 5 см = 251,2 см².

Задание 2 Высота конуса равна 4 см, а его радиус – 3 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение: Если рассмотреть конус в сечении, то можно заметить, что его высота, радиус и образующая представляют собой прямоугольный треугольник. Следовательно, воспользовавшись теоремой Пифагора, можно найти длину образующей (является гипотенузой):l² = (4 см)² + (3 см)² = 25 см².l = 5 см.

Осталось только использовать найденное и известные по условиям задачи значения, чтобы рассчитать площадь: S = 3,14 ⋅ 3 см ⋅ (5 см + 3 см)  = 75,36 см².

Элементы конуса

Определение. Вершина конуса – это точка (K), из которой исходят лучи.Определение. Основание конуса – это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.Определение. Образующей конуса (L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.Формула. Длина образующей (L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора):

L² = R² + H²

Определение. Направляющая конуса – это кривая, которая описывает контур основания конуса.Определение. Боковая поверхность конуса – это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.Определение. Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.Определение. Высота конуса (H) – это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.Определение. Ось конуса (a) – это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.Определение. Конусность (С) конуса – это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса – это отношение разности диаметров поперечных сечений D и d усеченного конуса к расстоянию между ними:

C =	D	и C =	D – d
H	h

где C – конусность, D – диаметр основания, d – диаметр меньшего основания и h – расстояние между основаниями.Конусность характеризует остроту конуса, то есть, угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее угол наклона. угол конуса α будет:

α = 2arctg	R
H

где R – радиус основы, а H – высота конуса.

Определение. Осевое сечение конуса – это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника – это диаметр основания конуса.

Определение. Касательная плоскость к конусу – это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.

Определение. Конус, что опирается на круг, эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом (последние два имеют бесконечный объем).

Определение. Прямой конус – это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой.

Формула. Объём кругового конуса:

V =	1	πHR2
3

где R – радиус основы, а H – высота конуса.

Формула. Площадь боковой поверхности (S_b) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:

S_b = πRL

Формула. Общая площадь поверхности (Sp) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L: Sp = π RL + π R2

Определение. Косой (наклонный) конус – это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой.

Формула. Объём любого конуса: V = 1 SH 3 где S – площадь основы, а H – высота конуса.

Определение. Усеченный конус – это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе.

Формула. Объём усеченного конуса: V = 1 (S2H – S1h ) 3 где S1 и S2 – площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h – расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.

Видео

Формула площади поверхности кругового конуса

$S_{\text{осн}}=\pi \cdot r^2$Sосн​=π⋅r2 $S_{\text{бок}}=\pi \cdot r\cdot l$Sбок​=π⋅r⋅l

$r$r — радиус круга (основания) кругового конуса; $l$l — длина образующей этого конуса.

Пример

Найти площадь поверхности кругового конуса, если радиус основания равен 3 (см.), а высота $h$h треугольника, путем вращения которого образовался данный конус, равна 4 (см.)

Решение

$r=3$r=3 $h=4$h=4

Образующую можно найти, если рассмотреть треугольник, катетами которого являются радиус и высота, а гипотенузой — сама образующая $l$l. По теореме Пифагора имеем:

$l^2=r^2+h^2$l2=r2+h2 $l^2=3^2+4^2$l2=32+42 $l^2=25$l2=25 $l=5$l=5

Вычислим площадь основания конуса:

$S_{\text{осн}}=\pi \cdot r^2=\pi \cdot 3^2\approx 28.26$Sосн​=π⋅r2=π⋅32≈28.26 (см. кв.)

Площадь боковой поверхности:

$S_{\text{бок}}=\pi \cdot r\cdot l=\pi \cdot 3\cdot 5\approx 47.10$Sбок​=π⋅r⋅l=π⋅3⋅5≈47.1 (см. кв.)

Полная площадь

$S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}\approx 28.26+47.10=75.36$S=Sосн​+Sбок​≈28.26+47.1=75.36 (см. кв.)

Ответ: 75.36 см. кв.

Виды конуса

Конус может быть нескольких видов:

Прямым, если его основанием является эллипс или круг. Причем вершина должна точно проектироваться в центр основания. Косым — это тот случай, когда центр фигуры, лежащей в основании, не совпадает с проекцией вершины на это основание. Круговым — соответственно, если основание — круг. Усеченным — область конуса, которая будет лежать между основанием и сечением плоскости, параллельной основанию и пересекающей этот конус.

Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и высоту

Очень часто в задачах на вычисление площади боковой поверхности конуса известна высота конуса вместо его направляющей. Так как конус прямой, то треугольник AOS – прямоугольный, где AO и OS – катеты, а AS –гипотенуза. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем: Отсюда: Но Тогда: Подставим данное выражение в формулу площади боковой поверхности конуса: Боковая поверхность конуса равна произведению числа на радиус конуса и корень квадратный из суммы квадратов радиуса и высоты конуса

Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и высота. Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 1 см и высотой, равной 5 см По условию задачи Н = 5см, R=1см Формула боковой поверхности конуса: Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:

Осевое сечение конуса и его площадь

Чтобы записать для конуса формулу площади сечения осевого, сначала следует познакомиться с самим сечением. Оно получается так: нужно взять секущую плоскость, расположить ее параллельно оси конуса. Затем необходимо разрезать конус плоскостью на две одинаковые части таким образом, чтобы в плоскость сечения попала вершина фигуры.

Несложно себе представить, что в результате описанной операции получится равнобедренный треугольник. Равные стороны треугольника будут такие же, как длины генератрис. А третья сторона будет равна диаметру основания.

Формула площади осевого сечения конуса (фото см. выше) не отличается сложностью. Она соответствует формуле расчета этой величины для описанного треугольника. Поскольку у треугольника площадь равна произведению основания на высоту, которое следует поделить пополам, то искомое равенство для осевого сечения примет вид:

S = h*r

Эта формула говорит о том, что S в два раза больше площади прямоугольного треугольника, вращением которого был получен конус.

Теги