Нахождение максимума и минимума функции одной переменной

Минимум и максимум функции

Минимумом и максимумом функции, другими словами экстремумами,называют точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание и наоборот). Важно понимать, что экстремумы это не максимальные и минимальные значения функции. Обозначаются следующим образом: 

• \(y_{min}, y_{max}\) — минимум, максимум функции или экстремумы;
• \(x_{min}, x_{max}\) — точки минимума, максимума функции;
• \(y_{наиб}, y_{наим}\) — наибольшее (максимальное), наименьшее (минимальное) значение функции.

Видео

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения ($max y$ и $min y$) в стационарных точках, расположенных на отрезке $[—6;6]$.

Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на $[1;6]$ и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка $[—3;2]$. Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума) Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия: функция непрерывна в окрестности точки $x_{0}$; $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ или $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ не существует; производная $f^{\prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ меняет свой знак. Тогда в точке $x=x_{0}$ функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная $f^{\prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ не меняет знак, то экстремума в точке $x=x_{0}$ нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$ на экстремум, необходимо:

1. найти производную $f^{\prime}(x)$;
2. найти критические точки, то есть такие значения $x$, в которых $f^{\prime}(x)=0$ или $f^{\prime}(x)$ не существует;
3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
4. найти значение функции в экстремальных точках.

Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=x^{4}-1$ на экстремум. Решение. Находим производную заданной функции: $y^{\prime}=\left(x^{4}-1\right)^{\prime}=4 x^{3}$ Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y^{\prime}(x)=0$: $y^{\prime}=4 x^{3}=0 \Rightarrow x=0$ Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку $x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины): Так как при переходе через точку $x=0$ производная сменила свой знак с «-» на «+», то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем $y_{\min }=y(0)=0^{4}-1=-1$. Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале $(-\infty ; 0)$ производная $y^{\prime}(x) \lt 0$, то на этом интервале функция $y(x)=x^{4}-1$ является убывающей; на интервале $(0 ;+\infty)$ производная $y^{\prime}(x)>0$, значит заданная функция возрастает на нем. Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

Исследование функций на экстремумы

Теорема. Если функция f(x) имеет экстремум в точке \(x=x_0,\) то в ней производная либо равна 0, либо не существует.

Алгоритм нахождения экстремумов с помощью производной:

1. Найти область определения функции — D(y).

   Читайте также: +50 формул по физике за 7-11 класс с пояснением

2. Определить производную — f '(x).

3. Определить стационарные точки y = f(x), т.е. те, которые принадлежат D(y), f '(x) в них обращается в ноль, отыскать критические точки, в которых производной не существует (пример: \(f^,(x)=\frac1{2\sqrt x}\), производной не существует при x = 0).

4. Исследовать характер изменения функции f (x) и знак f '(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения (при отрицательном знаке производной функция убывает, при положительном — возрастает).

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума  (возрастание меняется на убывание — точка максимума, убывание на возрастание — минимума) или не является точкой экстремума (то есть, меняется ли знак производной при переходе через исследуемую точку).

6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

   Читайте также: Задачи на КПД теплового двигателя с решениями

Теги