Содержание материала
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Видео
Геометрический смысл приращения
Посмотрите на следующий рисунок.
Как видите, приращение показывает изменение ординаты и абсциссы точки. А отношение приращения функции к приращению аргумента определяет угол наклона секущей, проходящей через начальное и конечное положение точки.
Дифференцирование функции
Определение
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция $y=f(x)$ имеет производную на интервале $(a ; b)$ или называется дифференцируемой в этом интервале, если производная $f^{\prime}(x)$ существует в каждой точке этого интервала. Функция $y=f(x)$ имеет в точке $x$ бесконечную производную, если в этой точке $f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\infty$ .
Теорема
(О непрерывности функции в точке) Если функция $y=f(x)$ имеет конечную производную в точке $x_{0}$ , то она непрерывна в этой точке. Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция $y=f(x)$ непрерывна в некоторой точке $x_{0}$ , то она может и не иметь производной в этой точке.
Определение
Функция $y=f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x$, если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде: $\Delta y=A \cdot \Delta x+\alpha(\Delta x) \cdot \Delta x$ где $A$ — число, не зависящее от $\Delta x$, $\alpha(\Delta x)$ — б.м. функция при $\Delta x \rightarrow 0$.
Теорема
(О необходимом и достаточном условии дифференцируемости) Для того чтобы функция $y=f(x)$ была дифференцируемой в точке $x$, необходимо и достаточно, чтобы $y=f(x)$ имела в этой точке конечную производную.
Теорема устанавливает, что для функции $y=f(x)$ дифференцируемость в данной точке $x$ и существование конечной производной в этой точке — понятия равносильные.
Читать дальше: односторонние производные.