Математическое ожидание непрерывной величины

Примеры вычисления математического ожидания

Кратко:

• если в задаче даётся таблица с данными, то перемножаем каждое событие на его вероятность и потом всё складываем;
• если в задаче дают функцию с заданным интервалом, то вычисляем интеграл с этим интервалом.

Видео

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку «Вычислить».
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения её от математического ожидания:

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется арифметическое значение квадратного корня её дисперсии:

.

Пример 5. Вычислить дисперсии и средние квадратические отклонения случайных величин X и Y, законы распределения которых приведены в таблицах выше.

Решение. Математические ожидания случайных величин X и Y, как было найдено выше, равны нулю. Согласно формуле дисперсии при Е(х)=Е(y)=0 получаем:

Тогда средние квадратические отклонения случайных величин X и Y составляют

,

.

Таким образом, при одинаковых математических ожиданиях дисперсия случайной величины X очень мала, а случайной величины Y — значительная. Это следствие различия в их распределении.

Пример 6. У инвестора есть 4 альтернативных проекта инвестиций. В таблице обобщены данные об ожидаемой прибыли в этих проектах с соответствующей вероятностью.

Проект 1	Проект 2	Проект 3	Проект 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
0, P=0,25	9500, P=0,25

Найти для каждой альтернативы математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Покажем, как вычисляются эти величины для 3-й альтернативы:

.

.

В таблице обобщены найденные величины для всех альтернатив.

Проект 1	Проект 2	Проект 3	Проект 4
μ	500	500	500	500
σ²	2500	1250	500000
σ	500	354	7071

У всех альтернатив одинаковы математические ожидания. Это означает, что в долгосрочном периоде у всех — одинаковые доходы. Стандартное отклонение можно интерпретировать как единицу измерения риска — чем оно больше, тем больше риск инвестиций. Инвестор, который не желает большого риска, выберет проект 1, так как у него наименьшее стандартное отклонение (0). Если же инвестор отдаёт предпочтение риску и большим доходам в короткий период, то он выберет проект наибольшим стандартным отклонением — проект 4.

Свойства математического ожидания

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:

Свойство 4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Свойство 5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число С, то её математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число:

Примеры распределений [ править]

Распределение Бернулли [ править]

Случайная величина имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: и с вероятностями и соответственно. Таким образом:

Тогда несложно догадаться, чему будет равно математическое ожидание:

Гипергеометрическое распределение [ править]

Гипергеометрическое распределение в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.

Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из элементов. Предположим, что из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из элементов. Пусть — случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности имеет вид:

,

где обозначает биномиальный коэффициент.

Гипергеометрическое распределение обозначается .

Формула математического ожидания для гипергеометрического распределения имеет вид:

Теги