Содержание материала
Котангенс острого угла прямоугольного треугольника
Ctg (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета(AC) к противолежащему катету(BC).Пимер:α = 40°; AC = 9см; BC = 7,552см. ctg (40°) = 97,552 = 1,1918
| Угол (градусы) | Тангенс (Tg) | Котангенс (Ctg) |
| 0° | ∞ | |
| 1° | 0.0174550649 | 57.2899616308 |
| 2° | 0.0349207695 | 28.6362532829 |
| 3° | 0.0524077793 | 19.0811366877 |
| 4° | 0.0699268119 | 14.3006662567 |
| 5° | 0.0874886635 | 11.4300523028 |
| 6° | 0.1051042353 | 9.5143644542 |
| 7° | 0.1227845609 | 8.1443464280 |
| 8° | 0.1405408347 | 7.1153697224 |
| 9° | 0.1583844403 | 6.3137515147 |
| 10° | 0.1763269807 | 5.6712818196 |
| 11° | 0.1943803091 | 5.1445540160 |
| 12° | 0.2125565617 | 4.7046301095 |
| 13° | 0.2308681911 | 4.3314758743 |
| 14° | 0.2493280028 | 4.0107809335 |
| 15° | 0.2679491924 | 3.7320508076 |
| 16° | 0.2867453858 | 3.4874144438 |
| 17° | 0.3057306815 | 3.2708526185 |
| 18° | 0.3249196962 | 3.0776835372 |
| 19° | 0.3443276133 | 2.9042108777 |
| 20° | 0.3639702343 | 2.7474774195 |
| 21° | 0.3838640350 | 2.6050890647 |
| 22° | 0.4040262258 | 2.4750868534 |
| 23° | 0.4244748162 | 2.3558523658 |
| 24° | 0.4452286853 | 2.2460367739 |
| 25° | 0.4663076582 | 2.1445069205 |
| 26° | 0.4877325886 | 2.0503038416 |
| 27° | 0.5095254495 | 1.9626105055 |
| 28° | 0.5317094317 | 1.8807264653 |
| 29° | 0.5543090515 | 1.8040477553 |
| 30° | 0.5773502692 | 1.7320508076 |
| 31° | 0.6008606190 | 1.6642794824 |
| 32° | 0.6248693519 | 1.6003345290 |
| 33° | 0.6494075932 | 1.5398649638 |
| 34° | 0.6745085168 | 1.4825609685 |
| 35° | 0.7002075382 | 1.4281480067 |
| 36° | 0.7265425280 | 1.3763819205 |
| 37° | 0.7535540501 | 1.3270448216 |
| 38° | 0.7812856265 | 1.2799416322 |
| 39° | 0.8097840332 | 1.2348971565 |
| 40° | 0.8390996312 | 1.1917535926 |
| 41° | 0.8692867378 | 1.1503684072 |
| 42° | 0.9004040443 | 1.1106125148 |
| 43° | 0.9325150861 | 1.0723687100 |
| 44° | 0.9656887748 | 1.0355303138 |
| 45° | 1 | 1 |
| 46° | 1.0355303138 | 0.9656887748 |
| 47° | 1.0723687100 | 0.9325150861 |
| 48° | 1.1106125148 | 0.9004040443 |
| 49° | 1.1503684072 | 0.8692867378 |
| 50° | 1.1917535926 | 0.8390996312 |
| 51° | 1.2348971565 | 0.8097840332 |
| 52° | 1.2799416322 | 0.7812856265 |
| 53° | 1.3270448216 | 0.7535540501 |
| 54° | 1.3763819205 | 0.7265425280 |
| 55° | 1.4281480067 | 0.7002075382 |
| 56° | 1.4825609685 | 0.6745085168 |
| 57° | 1.5398649638 | 0.6494075932 |
| 58° | 1.6003345290 | 0.6248693519 |
| 59° | 1.6642794824 | 0.6008606190 |
| 60° | 1.7320508076 | 0.5773502692 |
| 61° | 1.8040477553 | 0.5543090515 |
| 62° | 1.8807264653 | 0.5317094317 |
| 63° | 1.9626105055 | 0.5095254495 |
| 64° | 2.0503038416 | 0.4877325886 |
| 65° | 2.1445069205 | 0.4663076582 |
| 66° | 2.2460367739 | 0.4452286853 |
| 67° | 2.3558523658 | 0.4244748162 |
| 68° | 2.4750868534 | 0.4040262258 |
| 69° | 2.6050890647 | 0.3838640350 |
| 70° | 2.7474774195 | 0.3639702343 |
| 71° | 2.9042108777 | 0.3443276133 |
| 72° | 3.0776835372 | 0.3249196962 |
| 73° | 3.2708526185 | 0.3057306815 |
| 74° | 3.4874144438 | 0.2867453858 |
| 75° | 3.7320508076 | 0.2679491924 |
| 76° | 4.0107809335 | 0.2493280028 |
| 77° | 4.3314758743 | 0.2308681911 |
| 78° | 4.7046301095 | 0.2125565617 |
| 79° | 5.1445540160 | 0.1943803091 |
| 80° | 5.6712818196 | 0.1763269807 |
| 81° | 6.3137515147 | 0.1583844403 |
| 82° | 7.1153697224 | 0.1405408347 |
| 83° | 8.1443464280 | 0.1227845609 |
| 84° | 9.5143644542 | 0.1051042353 |
| 85° | 11.4300523028 | 0.0874886635 |
| 86° | 14.3006662567 | 0.0699268119 |
| 87° | 19.0811366877 | 0.0524077793 |
| 88° | 28.6362532829 | 0.0349207695 |
| 89° | 57.2899616308 | 0.0174550649 |
| 90° | ∞ | |
| 91° | -57.2899616308 | -0.0174550649 |
| 92° | -28.6362532829 | -0.0349207695 |
| 93° | -19.0811366877 | -0.0524077793 |
| 94° | -14.3006662567 | -0.0699268119 |
| 95° | -11.4300523028 | -0.0874886635 |
| 96° | -9.5143644542 | -0.1051042353 |
| 97° | -8.1443464280 | -0.1227845609 |
| 98° | -7.1153697224 | -0.1405408347 |
| 99° | -6.3137515147 | -0.1583844403 |
| 100° | -5.6712818196 | -0.1763269807 |
| 101° | -5.1445540160 | -0.1943803091 |
| 102° | -4.7046301095 | -0.2125565617 |
| 103° | -4.3314758743 | -0.2308681911 |
| 104° | -4.0107809335 | -0.2493280028 |
| 105° | -3.7320508076 | -0.2679491924 |
| 106° | -3.4874144438 | -0.2867453858 |
| 107° | -3.2708526185 | -0.3057306815 |
| 108° | -3.0776835372 | -0.3249196962 |
| 109° | -2.9042108777 | -0.3443276133 |
| 110° | -2.7474774195 | -0.3639702343 |
| 111° | -2.6050890647 | -0.3838640350 |
| 112° | -2.4750868534 | -0.4040262258 |
| 113° | -2.3558523658 | -0.4244748162 |
| 114° | -2.2460367739 | -0.4452286853 |
| 115° | -2.1445069205 | -0.4663076582 |
| 116° | -2.0503038416 | -0.4877325886 |
| 117° | -1.9626105055 | -0.5095254495 |
| 118° | -1.8807264653 | -0.5317094317 |
| 119° | -1.8040477553 | -0.5543090515 |
| 120° | -1.7320508076 | -0.5773502692 |
| 121° | -1.6642794824 | -0.6008606190 |
| 122° | -1.6003345290 | -0.6248693519 |
| 123° | -1.5398649638 | -0.6494075932 |
| 124° | -1.4825609685 | -0.6745085168 |
| 125° | -1.4281480067 | -0.7002075382 |
| 126° | -1.3763819205 | -0.7265425280 |
| 127° | -1.3270448216 | -0.7535540501 |
| 128° | -1.2799416322 | -0.7812856265 |
| 129° | -1.2348971565 | -0.8097840332 |
| 130° | -1.1917535926 | -0.8390996312 |
| 131° | -1.1503684072 | -0.8692867378 |
| 132° | -1.1106125148 | -0.9004040443 |
| 133° | -1.0723687100 | -0.9325150861 |
| 134° | -1.0355303138 | -0.9656887748 |
| 135° | -1 | -1 |
| 136° | -0.9656887748 | -1.0355303138 |
| 137° | -0.9325150861 | -1.0723687100 |
| 138° | -0.9004040443 | -1.1106125148 |
| 139° | -0.8692867378 | -1.1503684072 |
| 140° | -0.8390996312 | -1.1917535926 |
| 141° | -0.8097840332 | -1.2348971565 |
| 142° | -0.7812856265 | -1.2799416322 |
| 143° | -0.7535540501 | -1.3270448216 |
| 144° | -0.7265425280 | -1.3763819205 |
| 145° | -0.7002075382 | -1.4281480067 |
| 146° | -0.6745085168 | -1.4825609685 |
| 147° | -0.6494075932 | -1.5398649638 |
| 148° | -0.6248693519 | -1.6003345290 |
| 149° | -0.6008606190 | -1.6642794824 |
| 150° | -0.5773502692 | -1.7320508076 |
| 151° | -0.5543090515 | -1.8040477553 |
| 152° | -0.5317094317 | -1.8807264653 |
| 153° | -0.5095254495 | -1.9626105055 |
| 154° | -0.4877325886 | -2.0503038416 |
| 155° | -0.4663076582 | -2.1445069205 |
| 156° | -0.4452286853 | -2.2460367739 |
| 157° | -0.4244748162 | -2.3558523658 |
| 158° | -0.4040262258 | -2.4750868534 |
| 159° | -0.3838640350 | -2.6050890647 |
| 160° | -0.3639702343 | -2.7474774195 |
| 161° | -0.3443276133 | -2.9042108777 |
| 162° | -0.3249196962 | -3.0776835372 |
| 163° | -0.3057306815 | -3.2708526185 |
| 164° | -0.2867453858 | -3.4874144438 |
| 165° | -0.2679491924 | -3.7320508076 |
| 166° | -0.2493280028 | -4.0107809335 |
| 167° | -0.2308681911 | -4.3314758743 |
| 168° | -0.2125565617 | -4.7046301095 |
| 169° | -0.1943803091 | -5.1445540160 |
| 170° | -0.1763269807 | -5.6712818196 |
| 171° | -0.1583844403 | -6.3137515147 |
| 172° | -0.1405408347 | -7.1153697224 |
| 173° | -0.1227845609 | -8.1443464280 |
| 174° | -0.1051042353 | -9.5143644542 |
| 175° | -0.0874886635 | -11.4300523028 |
| 176° | -0.0699268119 | -14.3006662567 |
| 177° | -0.0524077793 | -19.0811366877 |
| 178° | -0.0349207695 | -28.6362532829 |
| 179° | -0.0174550649 | -57.2899616308 |
| 180° | ∞ | |
| 181° | 0.0174550649 | 57.2899616308 |
| 182° | 0.0349207695 | 28.6362532829 |
| 183° | 0.0524077793 | 19.0811366877 |
| 184° | 0.0699268119 | 14.3006662567 |
| 185° | 0.0874886635 | 11.4300523028 |
| 186° | 0.1051042353 | 9.5143644542 |
| 187° | 0.1227845609 | 8.1443464280 |
| 188° | 0.1405408347 | 7.1153697224 |
| 189° | 0.1583844403 | 6.3137515147 |
| 190° | 0.1763269807 | 5.6712818196 |
| 191° | 0.1943803091 | 5.1445540160 |
| 192° | 0.2125565617 | 4.7046301095 |
| 193° | 0.2308681911 | 4.3314758743 |
| 194° | 0.2493280028 | 4.0107809335 |
| 195° | 0.2679491924 | 3.7320508076 |
| 196° | 0.2867453858 | 3.4874144438 |
| 197° | 0.3057306815 | 3.2708526185 |
| 198° | 0.3249196962 | 3.0776835372 |
| 199° | 0.3443276133 | 2.9042108777 |
| 200° | 0.3639702343 | 2.7474774195 |
| 201° | 0.3838640350 | 2.6050890647 |
| 202° | 0.4040262258 | 2.4750868534 |
| 203° | 0.4244748162 | 2.3558523658 |
| 204° | 0.4452286853 | 2.2460367739 |
| 205° | 0.4663076582 | 2.1445069205 |
| 206° | 0.4877325886 | 2.0503038416 |
| 207° | 0.5095254495 | 1.9626105055 |
| 208° | 0.5317094317 | 1.8807264653 |
| 209° | 0.5543090515 | 1.8040477553 |
| 210° | 0.5773502692 | 1.7320508076 |
| 211° | 0.6008606190 | 1.6642794824 |
| 212° | 0.6248693519 | 1.6003345290 |
| 213° | 0.6494075932 | 1.5398649638 |
| 214° | 0.6745085168 | 1.4825609685 |
| 215° | 0.7002075382 | 1.4281480067 |
| 216° | 0.7265425280 | 1.3763819205 |
| 217° | 0.7535540501 | 1.3270448216 |
| 218° | 0.7812856265 | 1.2799416322 |
| 219° | 0.8097840332 | 1.2348971565 |
| 220° | 0.8390996312 | 1.1917535926 |
| 221° | 0.8692867378 | 1.1503684072 |
| 222° | 0.9004040443 | 1.1106125148 |
| 223° | 0.9325150861 | 1.0723687100 |
| 224° | 0.9656887748 | 1.0355303138 |
| 225° | 1 | 1 |
| 226° | 1.0355303138 | 0.9656887748 |
| 227° | 1.0723687100 | 0.9325150861 |
| 228° | 1.1106125148 | 0.9004040443 |
| 229° | 1.1503684072 | 0.8692867378 |
| 230° | 1.1917535926 | 0.8390996312 |
| 231° | 1.2348971565 | 0.8097840332 |
| 232° | 1.2799416322 | 0.7812856265 |
| 233° | 1.3270448216 | 0.7535540501 |
| 234° | 1.3763819205 | 0.7265425280 |
| 235° | 1.4281480067 | 0.7002075382 |
| 236° | 1.4825609685 | 0.6745085168 |
| 237° | 1.5398649638 | 0.6494075932 |
| 238° | 1.6003345290 | 0.6248693519 |
| 239° | 1.6642794824 | 0.6008606190 |
| 240° | 1.7320508076 | 0.5773502692 |
| 241° | 1.8040477553 | 0.5543090515 |
| 242° | 1.8807264653 | 0.5317094317 |
| 243° | 1.9626105055 | 0.5095254495 |
| 244° | 2.0503038416 | 0.4877325886 |
| 245° | 2.1445069205 | 0.4663076582 |
| 246° | 2.2460367739 | 0.4452286853 |
| 247° | 2.3558523658 | 0.4244748162 |
| 248° | 2.4750868534 | 0.4040262258 |
| 249° | 2.6050890647 | 0.3838640350 |
| 250° | 2.7474774195 | 0.3639702343 |
| 251° | 2.9042108777 | 0.3443276133 |
| 252° | 3.0776835372 | 0.3249196962 |
| 253° | 3.2708526185 | 0.3057306815 |
| 254° | 3.4874144438 | 0.2867453858 |
| 255° | 3.7320508076 | 0.2679491924 |
| 256° | 4.0107809335 | 0.2493280028 |
| 257° | 4.3314758743 | 0.2308681911 |
| 258° | 4.7046301095 | 0.2125565617 |
| 259° | 5.1445540160 | 0.1943803091 |
| 260° | 5.6712818196 | 0.1763269807 |
| 261° | 6.3137515147 | 0.1583844403 |
| 262° | 7.1153697224 | 0.1405408347 |
| 263° | 8.1443464280 | 0.1227845609 |
| 264° | 9.5143644542 | 0.1051042353 |
| 265° | 11.4300523028 | 0.0874886635 |
| 266° | 14.3006662567 | 0.0699268119 |
| 267° | 19.0811366877 | 0.0524077793 |
| 268° | 28.6362532829 | 0.0349207695 |
| 269° | 57.2899616308 | 0.0174550649 |
| 270° | ∞ | |
| 271° | -57.2899616308 | -0.0174550649 |
| 272° | -28.6362532829 | -0.0349207695 |
| 273° | -19.0811366877 | -0.0524077793 |
| 274° | -14.3006662567 | -0.0699268119 |
| 275° | -11.4300523028 | -0.0874886635 |
| 276° | -9.5143644542 | -0.1051042353 |
| 277° | -8.1443464280 | -0.1227845609 |
| 278° | -7.1153697224 | -0.1405408347 |
| 279° | -6.3137515147 | -0.1583844403 |
| 280° | -5.6712818196 | -0.1763269807 |
| 281° | -5.1445540160 | -0.1943803091 |
| 282° | -4.7046301095 | -0.2125565617 |
| 283° | -4.3314758743 | -0.2308681911 |
| 284° | -4.0107809335 | -0.2493280028 |
| 285° | -3.7320508076 | -0.2679491924 |
| 286° | -3.4874144438 | -0.2867453858 |
| 287° | -3.2708526185 | -0.3057306815 |
| 288° | -3.0776835372 | -0.3249196962 |
| 289° | -2.9042108777 | -0.3443276133 |
| 290° | -2.7474774195 | -0.3639702343 |
| 291° | -2.6050890647 | -0.3838640350 |
| 292° | -2.4750868534 | -0.4040262258 |
| 293° | -2.3558523658 | -0.4244748162 |
| 294° | -2.2460367739 | -0.4452286853 |
| 295° | -2.1445069205 | -0.4663076582 |
| 296° | -2.0503038416 | -0.4877325886 |
| 297° | -1.9626105055 | -0.5095254495 |
| 298° | -1.8807264653 | -0.5317094317 |
| 299° | -1.8040477553 | -0.5543090515 |
| 300° | -1.7320508076 | -0.5773502692 |
| 301° | -1.6642794824 | -0.6008606190 |
| 302° | -1.6003345290 | -0.6248693519 |
| 303° | -1.5398649638 | -0.6494075932 |
| 304° | -1.4825609685 | -0.6745085168 |
| 305° | -1.4281480067 | -0.7002075382 |
| 306° | -1.3763819205 | -0.7265425280 |
| 307° | -1.3270448216 | -0.7535540501 |
| 308° | -1.2799416322 | -0.7812856265 |
| 309° | -1.2348971565 | -0.8097840332 |
| 310° | -1.1917535926 | -0.8390996312 |
| 311° | -1.1503684072 | -0.8692867378 |
| 312° | -1.1106125148 | -0.9004040443 |
| 313° | -1.0723687100 | -0.9325150861 |
| 314° | -1.0355303138 | -0.9656887748 |
| 315° | -1 | -1 |
| 316° | -0.9656887748 | -1.0355303138 |
| 317° | -0.9325150861 | -1.0723687100 |
| 318° | -0.9004040443 | -1.1106125148 |
| 319° | -0.8692867378 | -1.1503684072 |
| 320° | -0.8390996312 | -1.1917535926 |
| 321° | -0.8097840332 | -1.2348971565 |
| 322° | -0.7812856265 | -1.2799416322 |
| 323° | -0.7535540501 | -1.3270448216 |
| 324° | -0.7265425280 | -1.3763819205 |
| 325° | -0.7002075382 | -1.4281480067 |
| 326° | -0.6745085168 | -1.4825609685 |
| 327° | -0.6494075932 | -1.5398649638 |
| 328° | -0.6248693519 | -1.6003345290 |
| 329° | -0.6008606190 | -1.6642794824 |
| 330° | -0.5773502692 | -1.7320508076 |
| 331° | -0.5543090515 | -1.8040477553 |
| 332° | -0.5317094317 | -1.8807264653 |
| 333° | -0.5095254495 | -1.9626105055 |
| 334° | -0.4877325886 | -2.0503038416 |
| 335° | -0.4663076582 | -2.1445069205 |
| 336° | -0.4452286853 | -2.2460367739 |
| 337° | -0.4244748162 | -2.3558523658 |
| 338° | -0.4040262258 | -2.4750868534 |
| 339° | -0.3838640350 | -2.6050890647 |
| 340° | -0.3639702343 | -2.7474774195 |
| 341° | -0.3443276133 | -2.9042108777 |
| 342° | -0.3249196962 | -3.0776835372 |
| 343° | -0.3057306815 | -3.2708526185 |
| 344° | -0.2867453858 | -3.4874144438 |
| 345° | -0.2679491924 | -3.7320508076 |
| 346° | -0.2493280028 | -4.0107809335 |
| 347° | -0.2308681911 | -4.3314758743 |
| 348° | -0.2125565617 | -4.7046301095 |
| 349° | -0.1943803091 | -5.1445540160 |
| 350° | -0.1763269807 | -5.6712818196 |
| 351° | -0.1583844403 | -6.3137515147 |
| 352° | -0.1405408347 | -7.1153697224 |
| 353° | -0.1227845609 | -8.1443464280 |
| 354° | -0.1051042353 | -9.5143644542 |
| 355° | -0.0874886635 | -11.4300523028 |
| 356° | -0.0699268119 | -14.3006662567 |
| 357° | -0.0524077793 | -19.0811366877 |
| 358° | -0.0349207695 | -28.6362532829 |
| 359° | -0.0174550649 | -57.2899616308 |
| 360° | ∞ |
Видео
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x, нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга, . При этом получаются следующие формулы.
при . при . где Bn – числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения: ; ; где . Либо по формуле Лапласа: 
Определение
Геометрический смысл понятия таков: в контексте прямоугольного треугольника тангенс угла – это отношение катета противолежащего к катету прилежащему. Рассмотрим это отношение на конкретной фигуре для удобства понимания.
В данном треугольнике тангенс угла альфа – это отношение С к А. Теперь рассмотрим другой острый угол – β (бета). Для бета тангенс угла – это отношение А к С.
Теперь перейдем к определению тангенса, которое несет алгебраический смысл, для этого нам понадобится единичная окружность.
Для того чтобы отметить в декартовой системе координат численное значение тангенса необходимо для начала провести прямую х = 1, которая будет перпендикулярна оси абсцисс и параллельна оси ординат. После чего отложим от оси абсцисс угол альфа и продлим его сторону до пересечения с прямой х = 1. Ордината точки пересечения в конкретной ситуации будет являться численным значением тангенса отложенного угла.
С точки зрения алгебры, определение тангенса имеет следующий вид: тангенс угла – это отношение синуса данного угла к его косинусу.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа равен синусу угла поворота величиной рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности — точка c координатами (, ).
Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь .
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь .
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y
Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x
Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тангенс острого угла
Пример:
1) Пусть дан угол и нужно определить тагенс этого угла.
2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.
3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить тангенс.
Тангенс — это отношение
Итак, есть два определения:
-
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.
-
Тангенс – это отношение синуса к косинусу.
Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.
Приняты обозначения:
Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan(α).
Свойства тангенса и котангенса
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n — целое).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Область определения и непрерывность | ||
| Область значений | –∞ < y < +∞ | –∞ < y < +∞ |
| Возрастание | – | |
| Убывание | – | |
| Экстремумы | – | – |
| Нули, y = | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = | y = | – |
График функции тангенс (y=tg x)
Построим график функции тангенс на интервале 
. Выберем контрольные точки:
 |
Отметим эти точки на координатной плоскости XOY и проведем через них плавную кривую (Рис. 2)
 |
Учитывая свойство 1 построим симметричную к этой кривой относительно начала координат (Рис.3)
 |
Функция тангенс периодичная (свойство 2) с основным периодом π. Тогда на графике функции тангенс, ветвь на рисунке Рис.2 повторяется бесконечное число раз от -∞ до ∞:
 |
В точках 
функция имеет разрыв. Каждая прямая вида 
является вертикальной асимптотой графика функции.
Обратная к тангенсу функция
Арктангенс x – это обратная функция к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).
Если тангенс угла у равняется х (tg y = x), значит арктангенс x равен у:
arctg x = tg-1 x = y
Например:
arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад