Как найти начальную фазу колебаний

Фаза колебаний

Подробности

Просмотров: 833

Фаза колебаний (φ) характеризует гармонические колебания. Выражается фаза в угловых единицах — радианах.

При заданной амплитуде колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или синуса: φ = ωt.

Фаза колебаний определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы (значение координаты, скорости и ускоренияв) любой момент времени.

Что такое разность фаз

Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.

Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.

Обозначим их:

\( \large \varphi_{01}\) – для первого процесса и,

\( \large \varphi_{02}\) – для второго процесса.

Рис. 12. Для двух колебаний можно ввести понятие разности фаз

Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:

\[\large \boxed{ \Delta \varphi = \varphi_{01} —  \varphi_{02} }\]

Величина \(\large \Delta \varphi \) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.

Видео

Как найти разность фаз колебаний, формула

Пусть имеется два гармонических колебания, изменяющихся по одному закону и с одинаковой амплитудой и частотой, т.е $X_{m1}=X_{m2}и{\omega }_1={\omega }_2.$ Такие колебания будут отличаться друг от друга только значением начальных фаз.

Запишем уравнение колебаний для каждого:$x_1=X_{m1}·\sin \left({\omega }_1·t+{\phi }_{01}\right)$и $x_2=X_{m2}·\sin \left({\omega }_2·t+{\phi }_{02}\right).$ Введем обозначение для разности фаз — $∆\phi$. Так как амплитуда и частота равны, то $∆\phi$ определяется выражением:

$∆\phi ={\phi }_{02}—{\phi }_{01}.$

На рисунке показаны два графика гармонических колебаний, разность фаз которых составляет $\pi$ радиан.

 

Разность фаз также называют сдвигом фаз.

Определение 2

Колебания, разность фаз которых не зависит от времени, называются когерентными.

Читайте также: Как сделать «Яндекс» поиском по умолчанию в популярных браузерах

Рассмотрим два гармонических когерентных колебания с одинаковым периодом и направлением:$x_1=X_{m1}·\cos \left(\omega ·t+{\phi }_{01}\right)иx_2=X_{m2}·\cos \left(\omega ·t+{\phi }_{02}\right)$. Величину результирующей амплитуды X_m определим по правилу сложения векторов: $X_m^2=X_{m1}^2+X_{m2}^2+2·X_{m1}·X_{m2}·\cos \left({\phi }_{02}—{\phi }_{01}\right)$. Из формулы видно, что суммарная амплитуда колебаний зависит от сдвига фаз. Приведем два варианта:

1. Сдвиг фаз равен четному числу $\pi :,2\pi ,4\pi ,6\pi$ и т.д. В этом случае: $\cos \left({\phi }_{02}—{\phi }_{01}\right)=1.$ Суммарная амплитуда: $X_m=X_{m1}+X_{m2}$. Такие колебания называют синфазными. Пример синфазных колебаний приведен на рисунке.
2. Сдвиг фаз равен нечетному числу $\pi :\pi ,3\pi ,5\pi$ и т.д. В этом случае: $\cos \left({\phi }_{02}—{\phi }_{01}\right)=—1$. Суммарная амплитуда: $X_m=X_{m1}—X_{m2}$. О таких колебаниях говорят, что они находятся в противофазе. Если $X_{m1}=X_{m2},тоX_m=$. Пример двух противофазных колебаний с одинаковыми амплитудами приведен на рисунке.

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости. Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника T — период [с] m — масса маятника [кг] k — жесткость пружины [Н/м] π = 3,14

Амплитуда и фаза колебаний

Амплитуда колебаний – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия. Обозначение – ​\( A\, (X_{max}) \)​, единицы измерения – м.

Фаза колебаний – это величина, которая определяет состояние колебательной системы в любой момент времени. Обозначение – ​\( \varphi \)​, единицы измерения – рад (радиан).

Фаза колебаний – это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Она показывает, какая часть периода прошла от начала колебаний. Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется. ​\( \varphi_0 \)​ – начальная фаза колебаний. Начальная фаза колебаний – величина, которая определяет положение тела в начальный момент времени.

Важно! Путь, пройденный телом за одно полное колебание, равен четырем амплитудам.

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.

Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, \(\large \varphi_{0} \).

\(\large \varphi_{0} \left(\text{рад} \right) \) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).

Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.

Рис. 7. Угол отклонения качелей перед началом колебаний

Рассмотрим теперь, как величина \(\large \varphi_{0} \) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.

Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы \(\large \varphi_{0} \) принимаем равной нулю.

Рис. 8. Вертикальное положение стартовой точки в момент времени t = 0 и сдвиг графика по горизонтали определяется начальной фазой

Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время \(\large \Delta t\), начальный угол \(\large \varphi_{0} \) будет отличаться от нулевого значения.

Определим угол \(\large \varphi_{0} \) с помощью графика колебаний.

Обратим внимание (рис. 8) на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина \(\large \varphi_{0} \) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени \(\large \Delta t\) и соответствующий ему начальный угол \(\large \varphi_{0} \).

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.

• Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал \(\large \Delta t\) равен 1 сек.
• Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.

\[\large T = 5 – 1 = 4 \left( \text{сек} \right)\]

Из графика следует, что период T = 4 сек.

• Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени \(\large \Delta t\). Для этого составим такую дробь \(\large \displaystyle \frac{\Delta t }{T} \):

\[\large \frac{\Delta t }{T} = \frac{1}{4} \]

Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.

• Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол \(\large 2\pi \). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом \(\large 2\pi \) полного цикла.

Для этого используем формулу:

\[\large \boxed{ \frac{\Delta t }{T} \cdot 2\pi = \varphi_{0} }\]

\(\large \displaystyle \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi }{2} =\varphi_{0} \)

Значит, интервалу \(\large \Delta t\) соответствует угол \(\large \displaystyle \frac{\pi }{2} \) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.

• В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.

Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:

\[\large \varphi_{0} = — \frac{\pi }{2} \]

Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол \(\large \displaystyle \frac{\pi }{2} \) имеет знак «плюс».

Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая \(\large \varphi_{0} = 0 \).

Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».

А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину \(\large \varphi_{0} \) записываем со знаком «-».

Примечания:

1. Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
2. На графике колебаний начальная фаза \( \varphi_{0}\) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.

Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.

Сложение колебаний и начальная фаза

Тело, совершающее колебания, способно принимать участие в нескольких колебательных процессах одновременно. В таком случае возникает необходимость выяснить, каким будет результирующее колебание.

Допустим, что два колебания с равными частотами происходят по одной прямой. Уравнением результирующих колебаний будет выражение:

тогда амплитуда суммарного колебания равна:

где $A_1$; $A_2$ – амплитуды складывающихся колебаний; $<varphi >_2;;<varphi >_1$ – начальные фазы суммирующихся колебаний. При этом начальную фазу полученного колебания ($varphi $) вычисляют, применяя формулу:

Уравнение траектории точки, которая принимает участие в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами $A_1$и $A_2$ и начальными фазами $<varphi >_2и<varphi >_1$:

В случае равенства начальных фаз составляющих колебаний уравнение траектории имеет вид:

что говорит о движении точки по прямой линии.

Если разность начальных фаз складываемых колебаний составляет $Delta varphi =<varphi >_2-<varphi >_1=frac<pi ><2>,$ уравнением траектории становится формула:

что означает, траектория движения эллипс.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

Формула периода колебаний T  = t/N T — период [с] t — время [с] N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты ν  = N/t = 1/T ν — частота [Гц] t — время [с] T — период [с] N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо x^max.

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Фазы колеблющейся величины, ее скорости и ускорения

Возьмем первую производную от параметра $\xi $, совершающего гармонические колебания:

Тогда вторая производная от $\xi $ задается функцией:

Уравнения (2) и (3) показывают, что скорость и ускорение $\xi $ совершают гармонические колебания с циклической частотой ${\omega }_0$. Амплитуды данных колебаний равны:

Фаза скорости (${\omega }_0t+\varphi +\frac{\pi }{2}$) отличается от фазы ускорения (${\omega }_0t+\varphi +\pi $) на величину равную $\frac{\pi }{2}$. Фаза ускорения отлична от фазы колеблющейся величины на $\pi $. Это значит, что в тот момент времени, когда $\xi =0$ скорость ее изменения ($\frac{d\xi }{dt}$) становится максимальной. При $\xi $ равной наибольшему значению меньшему нуля, ее ускорение превращается в максимальное положительное.

Что мы узнали?

Фаза колебания — это аргумент гармонической функции в ее формуле. Фактически это конкретный момент колебания. Начальная фаза — это аргумент в нулевой момент времени. Наибольшее значение начальная фаза колебаний играет при сравнении различных колебаний с одинаковой частотой.

Звук

Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.

Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:

Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.

Классификация звуковых волн:

• инфразвук (​\( \nu \)​ < 16 Гц);
• звуковой диапазон (16 Гц < \( \nu \) < 20 000 Гц);
• ультразвук (\( \nu \) > 20 000 Гц).

Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.

Теги