Решение целых и дробно рациональных уравнений

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а; если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Видео

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Рациональные выражения, уравнения и дробно-рациональные уравнения

Повторим еще раз то, что прошил в предыдущих разделах, больше используя язык математики.

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной \( \displaystyle x\) с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно-рациональные уравнения – рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Например:

\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}-2{x}-3}{{x}-1}-\frac{x+1}{{x}-3}={{x}^{2}}-1\) (чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения).

В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду: Произведение = «\( \displaystyle 0\)» или Дробь = «\( \displaystyle 0\)«, например:

\( \displaystyle \frac{\left( {x}-2 \right)\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{x\cdot \left( {x}-3 \right)}=0\).

Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.

Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: «\( \displaystyle +\)» на «\( \displaystyle —\)» и наоборот).

Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

Например:

Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше \( \displaystyle 2\) легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

Решение целых уравнений

Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:

• сначала получим ноль в правой части уравнения, для этого на необходимо перенести выражение, которое находится в правой части уравнения, в его левую часть и поменять знак;
• затем преобразуем выражение в левой части уравнения в многочлен стандартного вида.

Мы должны получить алгебраическое уравнение. Это уравнение будет равносильным по отношению к исходному уравнению. Легкие случаи позволяют нам для решения задачи свести целое уравнение с линейному или квадратному. В общем случае мы решаем алгебраическое уравнение степени $n$.

Необходимо найти корни целого уравнения 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3. Решение Проведем преобразование исходного выражения с целью получить равносильное ему алгебраическое уравнение. Для этого произведем перенос выражения, содержащегося в правой части уравнения, в левую часть и заменим знак на противоположный. В итоге получим: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=. Теперь проведем преобразование выражения, которое находится в левой части в многочлен стандартного вида и произведем необходимые действия с этим многочленом: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=(3·x+3)·(x−3)−2·x2+x+3==3·x2−9·x+3·x−9−2·x2+x+3=x2−5·x−6 У нас получилось свести решение исходного уравнения к решению квадратного уравнения вида x2−5·x−6=. Дискриминант этого уравнения положительный: D=(−5)2−4·1·(−6)=25+24=49. Это значит, действительных корней будет два. Найдем их, воспользовавшись формулой корней квадратного уравнения: x=—5±492·1, x1=5+72 или x2=5-72, x1=6 или x2=-1 Проверим верность корней уравнения, которые мы нашли в ходе решения. Для этого числа, которые мы получили, подставим в исходное уравнение: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3 и 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3. В первом случае 63=63, во втором =. Корни x=6 и x=−1 действительно являются корнями уравнения, данного в условии примера. Ответ: 6, −1.

Давайте разберем, что значит «степень целого уравнения». С этим термином мы будем часто встречаться в тех случаях, когда нам надо будет представить целое уравнение в виде алгебраического. Дадим определение понятию.

Степень целого уравнения – это степень алгебраического уравнения, равносильного исходному целому уравнению.

Если посмотреть на уравнения из примера, приведенного выше, можно установить: степень данного целого уравнения вторая.

Если бы наш курс ограничивался решением уравнений второй степени, то рассмотрение темы на этом можно было бы закончить. Но все не так просто. Решение уравнений третьей степени сопряжено с трудностями. А для уравнений выше четвертой степени и вовсе не существует общих формул корней. В связи с этим решение целых уравнений третьей, четвертой и других степеней требует от нас применения целого ряда других приемов и методов.

Чаще прочих используется подход к решению целых рациональных уравнений, который основан на методе разложения на множители. Алгоритм действий в этом случае следующий:

• переносим выражение из правой части в левую с тем, чтобы в правой части записи остался нуль;
• представляем выражение в левой части как произведение множителей, а затем переходим к совокупности нескольких более простых уравнений.

Найдите решение уравнения (x2−1)·(x2−10·x+13)=2·x·(x2−10·x+13). Решение Переносим выражение из правой части записи в левую с противоположным знаком:  (x2−1)·(x2−10·x+13)−2·x·(x2−10·x+13)=. Преобразование левой части в многочлен стандартного вида нецелесообразно в связи с тем, что это даст нам алгебраическое уравнение четвертой степени: x4−12·x3+32·x2−16·x−13=. Легкость преобразования не оправдывает всех сложностей с решением такого уравнения. Намного проще пойти другим путем: вынесем за скобки общий множитель x2−10·x+13. Так мы придем к уравнению вида (x2−10·x+13)·(x2−2·x−1)=. Теперь заменим полученное уравнение совокупностью двух квадратных уравнений x2−10·x+13= и x2−2·x−1= и найдем их корни через дискриминант: 5+2·3, 5-2·3, 1+2, 1-2. Ответ:  5+2·3, 5-2·3, 1+2, 1-2.

Точно также мы можем использовать метод введения новой переменной. Этот метод позволяет нам переходить к равносильным уравнениям со степенями ниже, чем были степени в исходном целом уравнении.

Есть ли корни у уравнения (x2+3·x+1)2+10=−2·(x2+3·x−4)? Решение Если мы сейчас попробуем свести целое рациональное уравнение к алгебраическому, то получим уравнение 4 степени, которое не имеет рациональных корней. Потому нам будет проще пойти другим путем: ввести новую переменную у, которая заменит в уравнении выражение x2+3·x. Теперь мы будем работать с целым уравнением (y+1)2+10=−2·(y−4). Перенесем правую часть уравнения в левую с противоположным знаком и проведем необходимые преобразования. Получим: y2+4·y+3=. Найдем корни квадратного уравнения: y=−1 и y=−3. Теперь проведем обратную замену. Получим два уравнения x2+3·x=−1 и x2+3·x=−3. Перепишем их как x2+3·x+1= и x2+3·x+3=. Используем формулу корней квадратного уравнения для того, чтобы найти корни первого уравнения из полученных: -3±52 . Дискриминант второго уравнения отрицательный. Это значит, что действительных корней у второго уравнения нет. Ответ: -3±52

Целые уравнения высоких степеней попадаются в задачах достаточно часто. Пугаться их не нужно. Нужно быть готовым применить нестандартный метод их решения, в том числе и ряд искусственных преобразований.

Как решаются дробно-рациональные уравнения

В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.

Алгоритм действий при стандартном способе решения:

1. Выписать и определить ОДЗ.
2. Найти общий знаменатель для дробей.
3. Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
4. Записать уравнение со скобками.
5. Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
6. Найти корни полученного уравнения.
7. Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
8. Записать ответ.

Пример 1

Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить: xx-2-7x+2=8×2-4

Начать следует с области допустимых значений:

$x—2\ne \iff x\ne 2$

$x+2\ne \iff x\ne —2$

$x^2—4\ne \iff x\ne \pm 2$

Воспользуемся правилом сокращенного умножения:

$x^2—4=(x—2)(x+2)$

В результате общим знаменателем дробей является:

$(x—2)(x+2)$

Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:

$\frac{x}{x—2}—\frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2—4}$

$\frac{x(x—2)(x+2)}{x—2}—\frac{7(x—2)(x+2)}{x+2}=\frac{8(x—2)(x+2)}{(x—2)(x+2)}$

После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

$x(x+2)—7(x—2)=8$

$x^2+2x—7x+14=8$

$x^2—5x+6=$

Осталось решить квадратное уравнение:

$x^2—5x+6=$

$x_1=2$ 

$x_2=3$

Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:

$x=3$

Теги