Содержание материала
- Тригонометрический круг
- Углы в радианах
- Видео
- Тригонометрические функции углового и числового аргумента
- Связь с другими тригонометрическими функциями:
- Как считать коэффициенты
- Табличные значения синуса и косинуса
- Свойства синуса и косинуса
- Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
- Синус числа
- Угол поворота
- Обратные функции
- Арксинус, arcsin
Тригонометрический круг
Углы в радианах
Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2πr. Следовательно 360° в радианах равно 2π, а 180° равно π радиан.
Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π.
Например, для угла 90° будет 90°180°· π = 12π
Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.
Видео
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь с другими тригонометрическими функциями:
— косинусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2x+\cos^2x=1\) — тангенсом и косинусом того же угла (или числа): формулой \(tgx=\)\(\frac{\sinx}{\cosx}\) — котангенсом того же угла (или числа): формулой \(1+сtg^2x=\)\(\frac{1}{\sin^2x}\) Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.
Как считать коэффициенты
В википедии, в статье про полиномы Чебышёва есть фраза: «Многочлены Чебышёва играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышёва первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами«. Это как раз наш случай.
Посмотрим ещё раз на их графики:

Голубая линия (полином 2-й степени) пересекает ось абсцисс (y=0) в двух точках x = ±0.7071
. Оранжевая (3-й степени) — в трёх точках: x = 0 и x = ±0.866
. Это и есть корни полиномов, они будут использованы «в качестве узлов в интерполяции».
Ещё небольшое отступление, как представлять аргументы. На 32-битных процессорах полный период (круг) удобно представить как 232 (0x100000000), а угол, соответственно, в диапазоне от до 0xffffffff
. Если количество интервалов аппроксимации, на которые разбит круг, равно 2n, то угол можно интерпретировать как двоичное число с фиксированной точкой. Например, при разбиении на 64 интервала (26), угол будет интерпретироваться как число размерности 6.26. Здесь старшие 6 бит — это номер интервала (считая от нуля), а младшие 26 бит — смещение внутри него.
Возьмём, для примера, угол 15°. Если вычислить 15°/360° · 232, то получим 0000_1010_1010_1010_1010_1010_1010_1011
в двоичном виде. В размерности 6.26 будет выглядеть как 000010.10101010101010101010101011
. Здесь первые 6 бит 000010
— это десятичное 2 (2-й интервал), а оставшиеся 26 10101010101010101010101011
, будучи поделены на 226, дадут 0.66666667 — это смещение внутри интервала. То же самое получим: 2.66666667 = 64 * 15/360.
Смещение внутри интервала лежит в диапазоне 0.0 ≤ x < 1.0
. К нему же надо привести корни многочленов Чебышёва, которые находятся между -1
и +1
. Корни полинома 2-й степени превратятся 0.14645 и 0.85355, 3-й степени — 0.066987, 0.5 и 0.933013.
Теперь давайте найдём коэффициенты A0, A1 и т.д. При аппроксимации полиномом 1-й степени y = A1·x + A0
нам нужно, что бы на заданном интервале с номером N в точке со смещением 0.14645 целевое значение было равно y=sin((N + 0.14645)/64 * 2π)
, а в точке 0.85355 — y=sin((N + 0.85355)/64 * 2π)
. Это делается при помощи системы из двух линейных уравнений с 2 неизвестными A1 и A0:
A1·0.14645 + A0 = sin((N + 0.14645)/64 * 2π)
A1·0.85355 + A0 = sin((N + 0.85355)/64 * 2π)
Для интервала N=2 (где находится 15°), получаем: A1 = 0.09521
и A0 = 0.19523
.
Пройдясь по всем N, от 0 до 63, получим таблицу с наборами коэффициентов A1 и A0. С ней уже можно считать синус с точностью 10.7 бит. Как это делать, расскажу ниже (если кто до сих пор не понял сам).
Перейдём ко 2-й степени y = A2·x² + A1·x + A0. В качестве аргумента x подставим, соответственно, корни полинома 3-й степени 0.066987, 0.5 и 0.933013. Напишем систему из 3 уравнений с 3 неизвестными A2, A1 и A0:
A2·0.066987² + A1·0.066987 + A0 = sin((N + 0.066987)/64 * 2π)
A2·0.5² + A1·0.5 + A0 = sin((N + 0.5)/64 * 2π)
A2·0.933013² + A1·0.933013 + A0 = sin((N + 0.933013)/64 * 2π)
Решения для интервала N=15 будут следующие:
A2 = -0.004812613
A1 = +0.009628370
A0 = +0.995184425
Обратите внимание на A2 и A1. Если их умножить 27 и 26 соответственно, то их значения всё равно будет лежать в пределах от -1 до +1. Интервал №15 я выбрал не случайно — на нём значение A0 максимально и близко к 1.
Вообще, в большинстве случаев коэффициенты при больших степенях можно увеличить на некий коэффициент. При целочисленных операциях это уменьшит погрешность вычислений, а на Cortex-M3 к тому же сократит их время — об этом я расскажу ниже.
Для вычисления таблиц других размеров в предыдущую систему уравнений вместо 64 нужно подставить нужный размер. Для аппроксимации полиномом степени P нужно найти корни полинома Чебышёва степени P+1, и записать систему из P+1 уравнений с P+1 неизвестными, не забывая возводить корень многочлена в нужную степень ‘n’ при каждом An. (Если предыдущее предложение непонятно, то ничего страшного. Ближе к концу статьи будет ссылка на готовый генератор таблиц и краткая инструкция к нему.)
Табличные значения синуса и косинуса
Нулевой угол \( \LARGE 0^{\circ } \)Абсцисса точки равна 1, ордината точки равна . Следовательно,
cos 0 = 1 sin 0 = 0
Рис 4. Нулевой угол
Угол \( \LARGE \frac{\pi}{6} = 30^{\circ } \)Мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой и острым углом 30°. Как известно, катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы1; иными словами, вертикальный катет равен 1/2 и, стало быть,
\[ \sin \frac{\pi}{6} =\frac{1}{2} \]
Горизонтальный катет находим по теореме Пифагора (или, что то же самое, находим косинус по основному тригонометрическому тождеству):
\[ \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{1 — \left(\frac{1}{2} \right)^{2} } =\frac{\sqrt{3} }{2} \]
1 Почему так получается? Разрежьте равносторонний треугольник со стороной 2 вдоль его высоты! Он распадётся на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 2, острым углом 30° и меньшим катетом 1.Рис 5. Угол π / 6
Угол \( \LARGE \frac{\pi}{4} = 45^{\circ } \)В данном случае прямоугольный треугольник является равнобедренным; синус и косинус угла 45° равны друг другу. Обозначим их пока через x. Имеем:
\[ x^{2} + x^{2} = 1 \]
откуда \( x=\frac{\sqrt{2} }{2} \). Следовательно,
\[ \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt{2} }{2} \]
Рис 5. Угол π / 4
Свойства синуса и косинуса
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n — целое).
y = sin x | y = cos x | |
Область определения и непрерывность | – ∞ < x < + ∞ | – ∞ < x < + ∞ |
Область значений | –1 ≤ y ≤ 1 | –1 ≤ y ≤ 1 |
Возрастание | ||
Убывание | ||
Максимумы, y = 1 | ||
Минимумы, y = –1 | ||
Нули, y = | ||
Точки пересечения с осью ординат, x = | y = | y = 1 |
Синус числа
Числовая окружность позволяет определить синус любого числа, но обычно находят синус чисел как-то связанных с Пи: \(\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{4}\), \(-2π\).
Например, для числа \(\frac{π}{6}\) — синус будет равен \(0,5\). А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\) он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (приблизительно \(-0,71\)).
Подробнее как вычисляется синус разных чисел можно прочитать в этой статье.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от до .
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.
Арксинус, arcsin
\( y = \arcsin x \) \( \left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; — \dfrac{\pi}2 \leqslant y \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)\( \sin( \arcsin x ) = x \) \( \{ -1 \leqslant x \leqslant 1 \} \)\( \arcsin( \sin x ) = x \) \( \left\{ — \dfrac{\pi}2 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)