Содержание материала
- Вычитание дробей
- С одинаковыми знаменателями
- С разными знаменателями
- Видео
- Как найти разность дробей с разными знаменателями
- Правило вычитания дробей
- С одинаковым знаменателем
- С разным знаменателем
- Обратные числа
- Деление числа на дробь
- Вычитание дробей с разными знаменателями
- Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа
- Примеры задач
Вычитание дробей
С одинаковыми знаменателями
При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби отнимается числитель второй дроби. Знаменатель при этом остается тем же.
a / c –b / c =a-b / c
Примечание: Следует проверить новую дробь, полученную путем вычитания. Возможно, ее можно сократить.
С разными знаменателями
Чтобы вычесть одну дробь из другой, знаменатель которой отличаются от первой, нам нужно:
1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю. 2. Затем выполнить вычитание – как для дробей с одинаковыми знаменателями.
Как найти разность дробей с разными знаменателями
Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:
Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.
Рассмотрим на примере, как это делается.
Вычтите из 29 дробь 115. Решение Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45. Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5, а для второй – 3. Подсчитаем: 29=2·59·5=1045115=1·315·3=345 У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 1045-345=10-345=745 Краткая запись решения выглядит так: 29-115=1045-345=10-345=745.
Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.
Найдите разность 199 — 736. Решение Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 769 и 736. Считаем ответ: 7636-736=76-736=6936 Результат можно сократить на 3 и получить 2312. Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ — 11112. Краткая запись всего решения — 199-736=11112.
Видео
Правило вычитания дробей
Можно вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми и разными знаменателями.
Алгоритмы действий будут немного отличаться.
С одинаковым знаменателем
Рассмотрим вариант вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Найдите значение выражения: 516-316. Решение.Правило 1 Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить неизменным. 516-316=5-316=216. Дробь 216— сократимая дробь. Сократить дробь — значит, что числитель и знаменатель дроби следует разделить на одно и то же число, которое называют общим делителем. Ищем общий делитель числителя 2 и знаменателя 16. Два и 16 делятся нацело на 2. Получим: 216=2:216:2=18. У числителя и знаменателя полученной дроби больше нет общих делителей, кроме 1. Значит, получили несократимую дробь. Ответ: 18.
Алгоритм выполняется в случае вычитания смешанных чисел, у которых в знаменателях дробных частей стоят одинаковые числа.
Вычислите: 256-146. Решение.Правило 2 Чтобы найти разность двух смешанных чисел, если в дробных частях у них одинаковые знаменатели, нужно:из дробной части первого числа вычесть дробную часть второго числа: числители вычитаем, знаменатель оставляем;из целой части первого смешанного числа вычесть целую часть второго смешанного числа. 256-116=(2-1)5-16=146. В полученном смешанном числе дробная часть сократима: у числителя и знаменателя есть общий делитель — 4 и 6 делятся нацело на 2. Сокращаем дробную часть смешанного числа:146=14:26:2=123. Ответ: 123.
С разным знаменателем
Рассмотрим алгоритм нахождения разности двух дробей с разными знаменателями.
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, нужно:Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.Примечание 1 Общий знаменатель — такое число, на которое делятся знаменатели обеих дробей. 2.Вычесть полученные дроби по правилу:от числителя первой дроби отнять числитель второй дроби;знаменатель оставить тем же.
Найдите значение выражения: 58-13. Решение. Для того чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, сначала приводим дроби к общему знаменателю. Знаменатель дроби 58 — это число 8. Знаменатель дроби 13— это число 3. Нужно найти такое наименьшее число, которое будет делиться одновременно на 8 и на 3. Это число 24. 24 делится нацело на 8. Получим число 3. 24 делится нацело на 3. Получим число 8. Приводим дроби к общему знаменателю 24. Чтобы первую дробь —58 — привести к знаменателю 8, нужно числитель и знаменатель умножить на 3. Число три называют дополнительным множителем. Вариант записи: 58=5(38=5·38·3=1524. Приводим к знаменателю 24 вторую дробь: 13=1(83=1·83·8=824. Получим разность: 1524-824. Теперь получили разность двух дробей с одинаковыми знаменателями. По правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями получаем: 1524-824=15-824=724. 724— дробь несократима. Цепочка решения: 58-13=5(38-1(83=5·38·3-1·83·8=1524-824=724. Ответ:724.
Обратные числа
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:
Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:
Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:
Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на
получается единица.
Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.
Примеры:
- обратным числа 2 является дробь
- обратным числа 3 является дробь
- обратным числа 4 является дробь
Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.
Примеры:
- для дроби
обратной дробью является дробь
- для для дроби
обратной дробью является дробь
- для дроби
обратной дробью является дробь
Деление числа на дробь
Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.
Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.
Например, разделим число 1 на .
Чтобы разделить число 1 на , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби
. А обратная дроби
это дробь
Выражение можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:
Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце», то ответом будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце два раза
Пример 2. Найти значение выражения
Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь
Допустим, у нас имеются две целые пиццы:
Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах», то ответом будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:
Вычитание дробей с разными знаменателями
Чтобы найти разность двух дробей , у которых разные знаменатели, нужно:
- найти общий знаменатель;
- привести дроби к общему знаменателю (желательно к наименьшему общему знаменателю);
- выполнить вычитание дробей: из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби и под полученной разностью подписать общий знаменатель;
- сократить полученную дробь, если это возможно.
Пример. Выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:
Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа
Для вычитания из обыкновенной дроби натурального числа необходимо это действие привести к вычитанию обыкновенных дробей.
Разберем для наглядности пример разности 3 и
Как решаем:
Представим натуральное число в виде смешанного — займем единицу и переведем ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой:
Вычтем одну дробь из другой:
Ответ: две целых одна седьмая.
Примеры задач
Задание 1
Найдите разность дробей 8 / 14 и 3 / 14 .
Решение
У данных дробей один и тот же знаменатель, следовательно:
8 / 14 –3 / 14 =8-3 / 14 =5 / 14
Задание 2
Найдите разность дробей 6 / 7 и 9 / 20 .
Решение
Сперва приводим дроби к наименьшему общему знаменателю.Наименьшее общее кратное обоих знаменателей равняется 140. Значит, дополнительный множитель для первой дроби – 20, для второй – 7.
6 / 7 =6⋅20 / 7⋅20 =120 / 140
9 / 20 =9⋅7 / 20⋅7 =63 / 120
Теперь у нас дроби с одинаковыми знаменателями, и мы можем вычесть из первой вторую:
120 / 140 –63 / 140 =120-63 / 140 =57 / 140
Задание 3
Отнимите из дроби 35 / 7 дробь 23 / 7 .
Решение
Так как дробные части имеют одинаковые знаменатели, мы сразу можем выполнить вычитание:
35 / 7 – 23 / 7 = 3 – 2 + (5 / 7 – 3 / 7 ) = 1 + 5-3 / 7 = 12 / 7