Вычитание дробей. Вычитание дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей

С одинаковыми знаменателями

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби отнимается числитель второй дроби. Знаменатель при этом остается тем же.

a / c –b / c =a-b / c

 Примечание: Следует проверить новую дробь, полученную путем вычитания. Возможно, ее можно сократить.

С разными знаменателями

Чтобы вычесть одну дробь из другой, знаменатель которой отличаются от первой, нам нужно:

1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю. 2. Затем выполнить вычитание – как для дробей с одинаковыми знаменателями.

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

Читайте также: Как исправить ошибку «Не удалось найти этот элемент» в Windows 10

Рассмотрим на примере, как это делается.

Вычтите из 29 дробь 115. Решение  Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45. Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5, а для второй – 3. Подсчитаем: 29=2·59·5=1045115=1·315·3=345 У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 1045-345=10-345=745 Краткая запись решения выглядит так: 29-115=1045-345=10-345=745.

Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

Найдите разность 199 — 736. Решение  Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 769 и 736. Считаем ответ: 7636-736=76-736=6936 Результат можно сократить на 3 и получить 2312. Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ — 11112. Краткая запись всего решения — 199-736=11112.

Видео

Правило вычитания дробей

Можно вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми и разными знаменателями.

Алгоритмы действий будут немного отличаться.

С одинаковым знаменателем

Рассмотрим вариант вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример 3

Найдите значение выражения: 516-316. Решение.Правило 1 Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить неизменным. 516-316=5-316=216. Дробь 216— сократимая дробь. Сократить дробь — значит, что числитель и знаменатель дроби следует разделить на одно и то же число, которое называют общим делителем. Ищем общий делитель числителя 2 и знаменателя 16. Два и 16 делятся нацело на 2. Получим: 216=2:216:2=18. У числителя и знаменателя полученной дроби больше нет общих делителей, кроме 1. Значит, получили несократимую дробь. Ответ: 18.

Алгоритм выполняется в случае вычитания смешанных чисел, у которых в знаменателях дробных частей стоят одинаковые числа.

Пример 4

Вычислите: 256-146. Решение.Правило 2 Чтобы найти разность двух смешанных чисел, если в дробных частях у них одинаковые знаменатели, нужно:из дробной части первого числа вычесть дробную часть второго числа: числители вычитаем, знаменатель оставляем;из целой части первого смешанного числа вычесть целую часть второго смешанного числа. 256-116=(2-1)5-16=146. В полученном смешанном числе дробная часть сократима: у числителя и знаменателя есть общий делитель — 4 и 6 делятся нацело на 2. Сокращаем дробную часть смешанного числа:146=14:26:2=123. Ответ: 123.

С разным знаменателем

Рассмотрим алгоритм нахождения разности двух дробей с разными знаменателями.

Правило 3

Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, нужно:Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.Примечание 1 Общий знаменатель — такое число, на которое делятся знаменатели обеих дробей.       2.Вычесть полученные дроби по правилу:от числителя первой дроби отнять числитель второй дроби;знаменатель оставить тем же.

Читайте также: Как найти арендатора коммерческой недвижимости?

Пример 5

Найдите значение выражения: 58-13. Решение. Для того чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, сначала приводим дроби к общему знаменателю. Знаменатель дроби 58 — это число 8. Знаменатель дроби 13— это число 3. Нужно найти такое наименьшее число, которое будет делиться одновременно на 8 и на 3. Это число 24. 24 делится нацело на 8. Получим число 3. 24 делится нацело на 3. Получим число 8. Приводим дроби к общему знаменателю 24. Чтобы первую дробь —58 — привести к знаменателю 8, нужно числитель и знаменатель умножить на 3. Число три называют дополнительным множителем. Вариант записи: 58=5(38=5·38·3=1524. Приводим к знаменателю 24 вторую дробь: 13=1(83=1·83·8=824. Получим разность: 1524-824. Теперь получили разность двух дробей с одинаковыми знаменателями. По правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями получаем: 1524-824=15-824=724. 724— дробь несократима. Цепочка решения: 58-13=5(38-1(83=5·38·3-1·83·8=1524-824=724. Ответ:724.

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Примеры:

• обратным числа 2 является дробь

• обратным  числа 3 является дробь

• обратным числа 4 является дробь

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Примеры:

• для дроби обратной дробью является дробь 
• для для дроби обратной дробью является дробь
• для дроби обратной дробью является дробь

Деление числа на дробь

Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 1 на .

Чтобы разделить число 1 на , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби  это дробь 

Выражение  можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце», то ответом будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце два раза

Пример 2. Найти значение выражения

Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь 

Допустим, у нас имеются две целые пиццы:

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах», то ответом будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:

Вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы найти разность двух дробей , у которых разные знаменатели, нужно:

1. найти общий знаменатель;
2. привести дроби к общему знаменателю (желательно к наименьшему общему знаменателю);
3. выполнить вычитание дробей: из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби и под полученной разностью подписать общий знаменатель;
4. сократить полученную дробь, если это возможно.

Пример. Выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа

Для вычитания из обыкновенной дроби натурального числа необходимо это действие привести к вычитанию обыкновенных дробей.

Разберем для наглядности пример разности 3 и .

Как решаем:

• Представим натуральное число в виде смешанного — займем единицу и переведем ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой:

  .

• Вычтем одну дробь из другой:

Ответ: две целых одна седьмая.

Примеры задач

Задание 1

Найдите разность дробей 8 / 14  и 3 / 14 .

 Решение

У данных дробей один и тот же знаменатель, следовательно:

8 / 14 –3 / 14 =8-3 / 14 =5 / 14

 Задание 2

Найдите разность дробей 6 / 7  и 9 / 20 .

 Решение

Сперва приводим дроби к наименьшему общему знаменателю.Наименьшее общее кратное обоих знаменателей равняется 140. Значит, дополнительный множитель для первой дроби – 20, для второй – 7.

6 / 7 =6⋅20 / 7⋅20 =120 / 140

9 / 20 =9⋅7 / 20⋅7 =63 / 120

  Теперь у нас дроби с одинаковыми знаменателями, и мы можем вычесть из первой вторую:

120 / 140 –63 / 140 =120-63 / 140 =57 / 140

 Задание 3

Отнимите из дроби 35 / 7  дробь 23 / 7 .

 Решение

Так как дробные части имеют одинаковые знаменатели, мы сразу можем выполнить вычитание:

35 / 7  – 23 / 7  = 3 – 2 + (5 / 7  – 3 / 7 ) = 1 + 5-3 / 7  = 12 / 7

Теги