Вычислить объем тела ограниченного поверхностями

Введите подинтегральную функцию, для которой надо найти тройной интеграл

Найдём решение тройного интеграла от функции f(x, y, z).

Введите вверхние и нижние пределы для области интегрирования и подинтегральную функцию для тройного интеграла. Если подинтегральной функции нету, то укажите 1.

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x (модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от xarccosh(x) Арккосинус гиперболический от xarcsin(x) Арксинус от xarcsinh(x) Арксинус гиперболический от xarctg(x) Функция — арктангенс от xarctgh(x) Арктангенс гиперболический от xexp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от xcos(x) Функция — Косинус от xsinh(x) Функция — Синус гиперболический от xcosh(x) Функция — Косинус гиперболический от xsqrt(x) Функция — квадратный корень из xsqr(x) или x^2 Функция — Квадрат xctg(x) Функция — Котангенс от xarcctg(x) Функция — Арккотангенс от xarcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от xtg(x) Функция — Тангенс от xtgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от xcbrt(x) Функция — кубический корень из xgamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от xВ выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,52*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание 15/7 — дробь Другие функции: asec(x) Функция — арксеканс от xacsc(x) Функция — арккосеканс от xsec(x) Функция — секанс от xcsc(x) Функция — косеканс от xfloor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция — Знак xerf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция — гиперболический арксеканс от xcsch(x) Функция — гиперболический косеканс от xsech(x) Функция — гиперболический секанс от xacsch(x) Функция — гиперболический арккосеканс от x Постоянные: pi Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

Тройной интеграл в сферических координатах

Если область интегрирования в тройном интеграле представляет собой шар или часть шара, то проще вычислить тройной интеграл в сферических координатах. В сферических координатах точку M характеризуют три величины (ρ, φ, θ), где ρ — расстояние от точки M до начала координат , φ — угол между вектором ON и положительным направлением оси Ox (N — проекция точки M на плоскость xOy), θ — угол между вектором OM и положительным направлением оси Oz.

Сферические координаты связаны с прямоугольными декартовыми координатами соотношениями

x = ρsinθcosφ,

y = ρsinθsinφ,

z = ρcosθ.

Элемент объёма в сферических координатах выражается следующим образом:

.

Таким образом, переход от прямоугольных декартовых координат в тройном интеграле к сферическим координатам осуществляется по формуле:

Чтобы вычислить тройной интеграл в сферических координатах, нужно поступить так же, как при вычислениях в прямоугольных декартовых и цилиндрических координатах — перейти к повторным интегралам (последовательности трёх определённых интегралов):

Пример 9. Вычислить тройной интеграл

переходом к сферическим координатам, где V — область, ограниченная неравенствами и .

Решение. Снизу область интегрирования ограничена конической поверхностью , а сверху — сферой . Так как область интегирования представляет собой часть шара, перейдём к сферическим координатам. Перепишем подынтегральную функцию:

Учитывая, что , получаем

Расставим пределы интегрирования и перепишем последний полученный интеграл в виде трёх повторных интегралов. По рисунку видно, что , , . Поэтому

Итак, тройной интеграл вычислен. Так как все три интеграла — независисмые друг от друга, мы смогли интегрировать каждый отдельно и результаты перемножить.

Видео

Расстановка пределов интегрирования при переходе к последовательности трёх интегралов

Бывает, что студенты, у которых не вызывает особых трудностей непосредственное вычисление интегралов, не могут освоиться в расстановке пределов интегрирования при переходе от тройного интеграла к последовательности трёх определённых интегралов. В этом деле действительно требуется некоторая натренированность. В первом примере область интегрирования V представляла собой параллелепипед, с которым всё понятно: со всех сторон его ограничивают плоскости, а значит, пределы интегрирования однозначно заданы уравнениями плоскостей. Во втором примере — пирамида: здесь уже требовалось чуть больше подумать и выразить один из пределов из уравнения. А если область V ограничивают не плоские поверхности? Нужно, конечно, определённым образом осмотреть область V.

Начнём с примера «пострашнее», чтобы почувствовать «обстановку, приближенную к боевой».

Пример 5. Расставить пределы интегрирования при переходе от тройного интеграла, в котором область V — эллипсоид

.

Решение. Пусть центр эллипсоида — начало координат, как показано на рисунке выше. Посмотрим на эллипсоид снизу. Снизу его ограничивает поверхность, являющаяся той части поверхности эллипсоида, которая расположена ниже плоскости xOy. Следовательно, нужно выразить из уравнения эллипсоида z и полученное выражение со знаком минус будет нижним пределом интегрирования по переменной z:

.

Теперь посмотрим на эллипсоид сверху. Здесь его ограничивает поверхность, являющаяся той части поверхности эллипсоида, которая расположена выше оси xOy. Следовательно, нужно выразить из уравнения эллипсоида z и полученное выражение будет верхним пределом интегрирования по переменной z:

.

Проекцией эллипсоида на плоскость xOy является эллипсоид. Его уравнение:

.

Чтобы получить нижний предел интегрирования по переменной y, нужно выразить y из уравнения эллипсоида и взять полученное выражение со знаком минус:

.

Для верхнего предела интегрирования по переменной y то же выражение со знаком плюс:

.

Что касается интегрирования по переменной x, то область V ограничена по глубине плоскостями. Следовательно, пределы интегрирования по переменной x можно представить как координаты задней и передней границ области. В случае эллипсоида ими будут взятые с отрицательным и положительным знаками величины длин полуоси a: x1 = − a и x2 = a.

Таким образом, последовательность интегралов для вычисления объёма эллипсоида следующая:

,

где «игрек первое», «игрек второе», «зет первое» и «зет второе» — полученные выше выражения. Если у Вас есть желание и отвага вычислить этот интеграл и, таким образом, объём эллипсоида, то вот ответ: 4πabc/3.

Следующие примеры — не такие страшные, как только что рассмотренный. При этом они предполагают не только расстановку пределов интегрирования, но и вычисление самого тройного интеграла. Проверьте, чему вы научились, следя за решением «страшного» примера. Думать при расстановке пределов всё равно придётся.

Пример 6. Вычислить тройной интеграл

,

если область интегрирования ограничена плоскостями x + y = 1, x + 2y = 4, y = 0, y = 1, z = 1, z = 5.

Решение. «Курортный» пример по сравнению с примером 5, так как пределы интегрирования по «игрек» и «зет» определены однозначно. Но придётся разобраться с пределами интегрирования по «иксу». Проекцией области интегрирования на плоскость xOy является трапеция ABCD.

В этом примере выгоднее проецировать трапецию на ось Oy, иначе, чтобы вычислить тройной интеграл, на придётся разделить фигуру на три части. В примере 4 мы начинали осмотр области интегрирования снизу, и это обычный порядок. Но в этом примере мы начинаем осмотр сбоку или, если так проще, положили фигуру набок и считаем, что смотрим на неё снизу. Можем найти пределы интегирования по «иксу» чисто алгебраически. Для этого выразим «икс» из первого и второго уравнений, данных в условии примера. Из первого уравения получаем нижний предел 1 − y, из второго — верхний 4 − 2y. Сведём данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:

.

Внимание! В этом примере самый внешний интеграл — не по переменной «икс», а по переменной «игрек», а «средний» — по переменной «икс»! Здесь мы применили смену порядка интегрирования, с которой ознакомились при изучении двойного интеграла. Это связано с тем, что, как уже говорилось, мы начали осмотр области интегрирования не снизу, а сбоку, то есть спроецировали её не на ось Ox, на на ось Oy.

Вычисляем самый внутренний интеграл — по переменной z, считая икс и игрек константами. Получаем:

.

Вычисляем средний интеграл — по переменной x. Получаем:

.

Наконец, вычисляем самый внешний интеграл — по переменной y:

Ответ: данный тройной интеграл равен 43.

Пример 7. Вычислить тройной интеграл

,

если область интегрирования ограничена поверхностями x = 0, y = 0, z = 2, x + y + z = 4.

Решение. Область V (пирамида MNRP) является правильной. Проекцией области V на плоскость xOy является треугольник AOB.

Нижние пределы интегрирования по всем переменным заданы в условии примера. Найдём верхний предел интегирования по «иксу». Для этого выразим «икс» из четвёртого уравнения, считая «игрек» равным нулю, а «зет» равным двум. Получаем x = 2. Найдём верхний предел интегирования по «игреку». Для этого выразим «игрек» из того же четвёртого уравнения, считая «зет» равным двум, а «икс» — переменной величиной. Получаем y = 2 − x. И, наконец, найдём верхний предел интегрирования по переменной «зет». Для этого выразим «зет» из того же четвёртого уравнения, считая «игрек» и «зет» переменными величинами. Получаем z = 4 − x − y.

Сведём данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:

.

Вычисляем самый внутренний интеграл — по переменной z, считая икс и игрек константами. Получаем:

.

Вычисляем средний интеграл — по переменной y. Получаем:

.

Вычисляем самый внешний интеграл — по переменной x и окончательно находим данный тройной интеграл:

Ответ: данный тройной интеграл равен 2.

Объем прямого цилиндрического тела

Пусть — плоская фигура. Восставим в каждой точке этой фигуры перпендикуляр к содержащей ее плоскости и отложим на каждом перпендикуляре отрезок длины (все отрезки располагаются по одну сторону от плоскости). Множество точек этих отрезков образует тело , которое называется прямым цилиндрическим телом с основанием и высотой . Вторые концы построенных отрезков образуют фигуру конгруэнтную основанию и параллельную ему.

В случае, когда — прямоугольник, прямое цилиндрическое тело является прямоугольным параллелепипедом. Если же — ступенчатая фигура, то — ступенчатое тело, причем оно разлагается на прямоугольные параллелепипеды, имеющие одинаковые высоты. Объем этого ступенчатого тела равен произведению площади фигуры на высоту тела:

(1)

Докажем, что формула (1) остается справедливой и в более общем случае. Именно, справедливо следующее утверждение:

Теорема 1. Если плоская фигура квадрируема, то прямое цилиндрическое тело с основанием кубируемо, причем его объем равен произведению площади фигуры на высоту тела:

Доказательство. Не теряя общности, мы можем считать, что плоскость фигуры является координатной плоскостью . Так как по условию фигура квадрируема, то для любого найдутся ступенчатые фигуры и такие, что , причем .

Построим ступенчатые тела и с высотой и основаниями и . Тогда имеем: . При этом

Таким образом, для любого найдутся ступенчатые тела и такие, что

Поэтому тело кубируемо. При этом, как мы видели, .

С другой стороны, из неравенств вытекает, что

Мы видим, что числа и разделяют одни и те же множества, а именно и , где, напомним, — ступенчатые фигуры, содержащиеся в , a — ступенчатые фигуры, содержащие . Но эти два множества, в силу квадрируемости , разделяются лишь одним числом. Поэтому . Формула (1) доказана для любых квадрируемых фигур .

Примеры решения задач с ответами

Пример 1

Найти объем тела, ограниченного поверхностями y=2×2,y=2,-x-y+4=z,z=. Решение. Сначала построим основание заданного тела. Поверхность ограничена параболой y=2×2 и прямой y=2. Выберем порядок обхода: ≤y≤2и-y2≤x≤y2. Запишем двойной интеграл и вычислим его: V=∫∫ABCzdxdy=∫2dy∫-y2y2(-x-y+4)dx=∫2(4-y)x-x22y2-y2=22∫2(4y-yy)dy=228y33-2y55|2≈6,14 Ответ:V≈6,14.

Пример 2

Вычислить объем единичной полусферы. Решение. Уравнение сферы имеет вид:x2+y2+z2=1. Уравнение полусферы, расположенной в положительной части оси OZ:z=1-(x2+y2). Чтобы найти объем, переведем уравнение в полярную систему координат:z(r,φ)=1-r2 . Выберем порядок обхода: ≤r≤1 и ≤φ≤2π. Запишем двойной интеграл: V=∫2πdφ∫11-r2·rdr. Сделаем подстановку: 1-r2=u→dudr=-2r→dr=-12r. Тогда: V=∫2πdφ∫1-12udu=∫2π(-(1-r2)33)|1dφ=∫2π13dφ=2π3. Ответ: V=2π3.

Пример 3

Дана сфера радиусом 2R. Вычислить объем сферы, используя интегралы. Решение. Для решения не понадобится чертеж, так как фигура является достаточно простой. Объем найдем с помощью тройного интеграла в сферической системе координат. V=∫∫∫Tρ2sinθdρdφdθ=∫2πdφ∫πsinθdθ∫2Rρ2dρ=∫2πdφ∫πsinθρ33|2Rdθ==∫2π8R33-cosθ|πdφ=16R33∫2πdφ=32πR33. Ответ: V=32πR33.

Теги