Все формулы площади трапеции. Найти онлайн

Площадь равнобедренной трапеции через основания и среднюю линию

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка … a — основание b — основание m — средняя линия

Примечание:

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Пусть a и b основания трапеции. доказать что , соединяющий середины её диагоналей равен / *

 

Возьмем трапецию ABCD Определим точку М как середину диагонали АС, точку N как середину диагонали BD. Тогда средняя линия трапеции KF будет проходить через точки M и N. Вспомним свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции является параллельной основаниям и равняется полусумме их длин. Рассмотрим треугольник ACD: MF = AD/2 Рассмотрим треугольник BCD NF = BC/2 Выразим MN через отрезки MF и NF: MN = MF-NF Подставим в формулу значения отрезков MF и NF: MN = AD/2-BC/2 = (AD-BC)/2

Видео

Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними

$S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot \sin \left(\alpha \right)$S=21​⋅d1​⋅d2​⋅sin(α)

$d_1,d_2$d1​,d2​ — диагонали трапеции; $\alpha$α — угол между диагоналями.

Читайте также: 2 способов узнать, где находится человек по номеру телефона

Пример

Пусть две диагонали трапеции равны 20 (см.) и 7 (см.) и при пересечении они образуют угол 30 градусов. Найти площадь трапеции $S$S.

Решение

$d_1=20$d1​=2 $d_2=7$d2​=7 $\alpha =3{\circ }^{}$α=3∘

Площадь: $S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot \sin \left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 7\cdot \sin \left(3{\circ }^{}\right)=35$S=21​⋅d1​⋅d2​⋅sin(α)=21​⋅2⋅7⋅sin(3∘)=35 (см. кв.)

Ответ: 35 см. кв.

Формула площади трапеции по основанию и средней линии

Нужно упомянуть, что средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований. Тем самым, способ нахождения площади через среднюю линию есть не что иное, как способ, аналогичный первому. Поскольку:

$l=\frac{a+b}{2},$l=2a+b​,

Читайте также: Как найти периметр трапеции? Ответ на

то:

$S=l\cdot h$S=l⋅h

$l$l — средняя линия трапеции; $h$h — высота.

Пример

Найти площадь трапеции, если известно, что средняя линия равна 5 (см.), а высота трапеции в 2 раза больше её.

Читайте также: Как посчитать выручку от реализации продукции

Решение

$l=5$l=5 $h=2\cdot l$h=2⋅l

Найдем высоту трапеции: $h=2\cdot 5=10$h=2⋅5=1 Площадь: $S=l\cdot h=5\cdot 10=50$S=l⋅h=5⋅1=5 (см. кв.)

Ответ: 50 см. кв.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h.

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h. Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d₁и d₂, которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d₁d₂ *sinα.

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c² – ( ( 1/2(b – a)) * ((b – a)² + c² – d²) )².

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Формулы длявычисления площади равнобедренной инеправильной трапеций

По длине оснований и высоте

Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований на высоту:

\(S = \frac{1}{2} (a+b) \times h.\)

Через длины всех сторон (Формула Герона)

Чтобы посчитать площадь через длины сторон, можно воспользоваться следующей формулой:

\(S = \frac{1}{2} (a+b) \times \sqrt{c^{2} — (\frac{(a — b)^{2} + c^{2} — d^{2}}{2 (a — b)})^{2}}.\)

Существует более простая формула, известная, как формула Герона. Для облегчения ее запоминания вводится р, полусумма всех четырех сторон:

\(p = \frac{1}{2} (a+b+c+d).\)

Формула Герона выглядит так: \(S = \frac{a + b}{\left|a\;-\;b\right|} \times \sqrt{(p — a) (p — b) (p — a — c) (p — a — d)}.\)

Через диагонали и угол между ними

\(S = \frac{1}{2}\times d_{1} \times d_{2} \times \sin\alpha.\)

Здесь \(d_{1}\) и \(d_{2}\) — диагонали, а \(\alpha\) — угол, образованный ими.

Через радиус вписанной окружности

Примечание

Вписать окружность в трапецию можно только тогда, когда сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.

Площадь любой трапеции можно найти через радиус вписанной окружности, зная длину оснований:

\(S = (a + b) \times r.\)

Площадь равнобокой трапеции также можно найти через круг, вписанный в нее. Для этого нужно знать радиус этого круга, а также угол \(\alpha\) при основании.

\(S = \frac{4r^{2}}{\sin\alpha}.\)

Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

Такой способ нахождения площади подходит только для равнобоких трапеций. В этой формуле средняя линия обозначается буквой m, боковая сторона — буквой с, а угол при основании — \(\alpha\). Зная длину средней линии и боковой стороны, достаточно найти синус угла и умножить эти значения друг на друга:

\(S = m \times c \times \sin\alpha.\)

Таблица с формулами площади трапеции

В зависимости от известных исходных данных и вида трапеции, площадь трапеции можно вычислить по различным формулам.

эскиз	формула
Площадь для всех видов трапеции
1	высота и два основания
2	высота и средняя линия
3	четыре стороны
4	диагонали и угол между ними
5	основания и углы при одном из оснований
Площадь равнобедренной трапеции
6	стороны
7	основание, боковые стороны и угол при основании
8	основание, боковые стороны и угол при основании
9	основания и углы при одном из оснований
10	диагонали и угол между ними
11	средняя линия, боковые стороны и углы между основанием и боковыми сторонами
12	радиус вписанной окружности и угол при основании
13	основания и радиус вписанной окружности
14	основания и углы при одном из оснований
15	основания и боковые стороны
16	основания и средняя линия

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.

Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.

Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Мы также можем доказать, что треугольник АРХ – прямоугольный (для этого примените теорему Пифагора – АХ² = АР² + РХ²). И высчитать его площадь: S_APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см².

Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.

Все это позволит вам утверждать, что S_AMPC = S_APX = 54 см².

Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.

Решение:  Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h₁ для треугольника ТМЕ и высоту h₂ для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h₁ = 1/5(b + х) * h₂. Преобразуем и получим: h₁/ h₂ = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).

Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h₁/ h₂ = (х – а)/( b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х² – а²) = (b² – х²) ↔ 6х² = b² + 5а² ↔ х = √(5а² + b²)/6.

Таким образом, ОЕ = х = √(5а² + b²)/6.

Также советуем посмотреть вам наше новое видео по теме нахождения площади фигур, в том числе и трапеции:

Теги