Угловая и линейная скорости, формулы и примеры

Основные характеристики и формулы

Так как за период угловое перемещение рад, угловая скорость связана с периодом и частотой вращения:

Рис.1. Линейное и угловое перемещение при равномерном движении точки по окружности

Наряду с понятием угловой скорости для характеристики равномерного движения по окружности сохраняет смысл привычное для нас понятие скорости движения точки вдоль траектории, которое в данном случае называется линейной скоростью.

Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности к промежутку времени, за который эта дуга пройдена.

Линейная скорость тела, которое движется по окружности, не изменяется по модулю, а все время изменяется по направлению, и в любой точке траектории направлена по касательной к дуге этой окружности (рис.1).

Угловая и линейная скорости связаны между собой соотношением:

где радиус окружности.

Кинематическое уравнение или закон движения точки по окружности:

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Видео

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Период и частота

Период вращения T – это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение – это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Мгновенная и средняя скорости

Как найти линейную скорость? Формулу, согласно определению величины, можно записать следующую:

v¯ = dl¯/dt.

Где dl¯ — вектор перемещения тела за время dt. Эта скорость называется мгновенной, поскольку рассчитывается за чрезвычайно короткий промежуток времени dt. Мгновенная скорость в действительности является величиной не стабильной и постоянно меняющейся. Например, представим, что по дороге движется автомобиль. На первый взгляд можно полагать, что в любой момент времени его мгновенная скорость будет постоянной, однако, это не так. Мгновенная скорость испытывает колебания. Если спидометр автомобиля достаточно чувствителен, то он фиксирует эти колебания.

Формула линейной скорости средней ничем не отличается от таковой для мгновенной, однако, измеряется она за более длительный промежуток времени Δt:

v¯ = Δl¯/Δt, где Δt>>dt.

В примере с автомобилем выше, хотя мгновенная скорость испытывает колебания, средняя скорость остается постоянной с определенной точностью на всем участке пути Δl¯.

При решении задач, как правило, используют среднюю скорость. Мгновенная же величина имеет смысл только в случае движения с ускорением.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Период и частота вращения

Важными характеристиками любого вращательного движения являются частота и период:

Определение Период – время, за которое тело совершает полный оборот.

В нашем примере с мотоциклистом, период – это время, за которое мотоциклист проезжает один полный круг.

Из курса геометрии вспоминаем, что длину дуги окружности можно посчитать как \(2*\pi*R\), где \(R\) – радиус окружности. Тогда в случае равномерного движения период можно посчитать по формуле, как расстояние деленое на скорость: $$T=\frac{2*\pi*R}{V};$$ Подставив сюда формулу \((1)\) для линейной скорости через угловую: $$T=\frac{2*\pi}{\omega};$$ Где \(V\) –линейная скорость вращения.

В системе СИ период измеряется в \([{cек}^{-1}]\).

Определение Частота – количество оборотов за единицу времени.

В случае с мотоциклистом, частота – это сколько кругов он успевает проехать, например, за один час. Обычно частоту измеряют в оборотах в секунду.

Период и частота вращения связаны между собой выражением: $$T=\frac{1}{\nu};$$ Отсюда можно получить формулы для частоты, подставив период: $$\nu=\frac{V}{2*\pi*R}=\frac{\omega}{2*\pi};$$

Пример 1

Скорость точки, находящейся на краю вращающегося диска равна \(V_A=15(м/с)\), а точки, расположенной на 0,2 (м) ближе к центру вращения равна \(V_B=10(м/с)\). Найти частоту вращения и радиус диска.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Диск равномерно вращается вокруг оси (O), перпендикулярной его плоскости, проходящей через его центр (рис.3). Линейная скорость точки A равна $v_1$, Точка B находится на расстоянии $\Delta l$ ближе к оси и имеет лилейную скорость $v_2$. Какова угловая скорость вращения диска ($\omega $)? Решение. Основой для решения задачи будет формула: \[\omega =\frac{v}{R}\left(1.1\right).\] Угловые скорости движения точки A и B одинаковы (${\omega }_A={\omega }_B$), запишем выражение для каждой из этих скоростей используя (1.1): \[{\omega }_A=\frac{v_1}{R_1};;\ {\omega }_B=\frac{v_2}{R_2}\left(1.2\right).\] $R_1$ — расстояние от точки O до точки A; $R_2=R_1-\Delta l$ — расстояние от точки B до точки O. Приравняем правые части выражений (1.2), выразим расстояние $R_1$: \[\frac{v_1}{R_1}=\frac{v_2}{R_1-\Delta l}\to R_1=\frac{\Delta l\cdot v_1}{v_1-v_2}\left(1.3\right).\] Найдем угловую скорость точки A: \[{\omega }_A=v_1\cdot \frac{v_1-v_2}{\Delta l\cdot v_1}=\frac{v_1-v_2}{\Delta l}.\] Ответ. Угловая скорость всех точек диска равна $\omega =\frac{v_1-v_2}{\Delta l}$

Пример 2

Задание. Колесо радиусом R=1 м вращается так, что угол поворота изменяется в соответствии с законом: $\varphi \left(t\right)=2+5t^3(рад)$. Определите, какова линейная скорость точек обода колеса в момент времени, равный $t’=1\ (с)$. Решение. В качестве основы для решения задачи воспользуемся формулой: \[v=R\omega \left(2.1\right).\] Используя уравнение $\varphi \left(t\right)$ и связь угла поворота и угловой скорости найдем $\omega $: \[\omega =\frac{d\varphi }{dt}=\frac{d}{dt}\left(A+Bt^3\right)=3Bt^2(2.2).\] Подставим результат (2.2) в (2.1), имеем: \[v=R\cdot 3Bt^2.\] Вычислим искомую скорость: \[v=1\cdot 3\cdot 5\cdot 1^2=15\ \left(\frac{м}{с}\right).\] Ответ. $v\left(t’\right)=15\frac{м}{с}$

Читать дальше: масса и плотность вещества.

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут! Узнать стоимость

Теги