Третья сторона треугольника по двум другим

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

Решение:

Из теоремы косинусов имеем:

Откуда

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

.

.

Используя онлайн калькулятор для arcsin и arccos находим углы A и B:

,   .

И, наконец, находим угол C:

Видео

Окружность описанная вокруг треугольника

Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника. Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь:

R = abc 4S

Радиус описанной окружности через площадь и три угла:

R = S2 sin α sin β sin γ

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов): R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Важные теоремы

Знание теорем для рассматриваемой фигуры позволяет понять, как найти сторону, зная 2 стороны треугольника. Прежде всего применяются две базовые теоремы:

Синусов. Как известно, синус — это тригонометрическая функция, которая вводится в прямоугольном треугольнике и определяет отношение противолежащего углу катета к гипотенузе. Теорема синусов для фигуры произвольного типа устанавливает следующее математическое взаимоотношение между отрезками и углами: a/sinA = b/sinB = c/sinC. Это означает, что вычислить длину любой стороны можно, если известен еще какой-нибудь отрезок и два угла.

Косинусов. Как и синус, косинус тоже является тригонометрической функцией, которая определяет отношение катета прилежащего к гипотенузе прямоугольной фигуры. Теорему косинусов удобно записать в виде следующего математического выражения: c ² = a ² + b ² — 2*a*b*cosC. С помощью этого равенства можно найти 3 сторону треугольника по 2 сторонам известным и углу между ними.

К этим двум теоремам следует добавить еще два важных равенства, которые связаны с именами древнегреческих философов.

Первое выражение базируется на знаменитой теореме Пифагора, которая устанавливает связь между длинами двух катетов (меньшие стороны) и гипотенузы (большая сторона) в треугольнике с прямым углом. Если гипотенузу обозначить буквой c, тогда будет выполняться следующее равенство:

c ² = a ² + b ² .

Если известные любые две стороны, то для определения третьей достаточно взять под квадратный корень соответствующую сумму или разницу квадратов.

Вторая из дополнительных теорем носит название философа Аполлония Пергского. Соответствующее ей математическое выражение выглядит так:

a ² + b ² = ½*c ² + 2*Mc ² .

Здесь Mc — это медиана, проведенная к стороне c из вершины C. Это равенство также называют в математике теоремой медианы.

Высоты треугольника

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

• внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
• совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
• проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

ha :hb :hc = 1a :1b :1c = (bc ):(ac ):(ab )

1ha + 1hb + 1hc = 1r

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

ha = b sin γ = c sin β hb = c sin α = a sin γ hc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

ha = 2Sa hb = 2Sb hc = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности: ha = bc 2R hb = ac 2R hc = ab 2R

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание В треугольнике со сторонами см см и см найти угол . Решение Поскольку известны стороны треугольника, то можно воспользоваться теоремой косинусов или откуда Тогда . Ответ

ПРИМЕР 2

Задание В треугольнике основание см, а сторона на см больше стороны . Найти стороны треугольника, если площадь треугольника равна см. Решение Пусть сторона равна см, тогда см. Полупериметр рассматриваемого треугольника равен Воспользуемся формулой Герона для площади треугольника или откуда . Следовательно, сторона см см. Ответ см см

Теги