Содержание материала
Решение треугольника по трем сторонам
Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .
![]() |
Решение:
Из теоремы косинусов имеем:
![]() |
![]() |
Откуда
![]() | (1) |
![]() | (2) |
Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения
![]() |
Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти
(Рис.1).
Решение. Из формул (1) и (2) находим:
![]() ![]() |
![]() ![]() |
Используя онлайн калькулятор для arcsin и arccos находим углы A и B:
![]() ![]() |
И, наконец, находим угол C:
![]() ![]() |
Видео
Окружность описанная вокруг треугольника

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.
Радиус описанной окружности через три стороны и площадь:R = abc 4S
Радиус описанной окружности через площадь и три угла:R = S2 sin α sin β sin γ
Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов): R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ
Важные теоремы
Знание теорем для рассматриваемой фигуры позволяет понять, как найти сторону, зная 2 стороны треугольника. Прежде всего применяются две базовые теоремы:
К этим двум теоремам следует добавить еще два важных равенства, которые связаны с именами древнегреческих философов.
Первое выражение базируется на знаменитой теореме Пифагора, которая устанавливает связь между длинами двух катетов (меньшие стороны) и гипотенузы (большая сторона) в треугольнике с прямым углом. Если гипотенузу обозначить буквой c, тогда будет выполняться следующее равенство:
c 2 = a 2 + b 2 .
Если известные любые две стороны, то для определения третьей достаточно взять под квадратный корень соответствующую сумму или разницу квадратов.
Вторая из дополнительных теорем носит название философа Аполлония Пергского. Соответствующее ей математическое выражение выглядит так:
a 2 + b 2 = ½*c 2 + 2*Mc 2 .
Здесь Mc — это медиана, проведенная к стороне c из вершины C. Это равенство также называют в математике теоремой медианы.
Высоты треугольника

- внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
- совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
- проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.
ha :hb :hc = 1a :1b :1c = (bc ):(ac ):(ab )
1ha + 1hb + 1hc = 1r
Формулы высот треугольника через сторону и угол:ha = b sin γ = c sin β hb = c sin α = a sin γ hc = a sin β = b sin α
Формулы высот треугольника через сторону и площадь:ha = 2Sa hb = 2Sb hc = 2Sc
Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности: ha = bc 2R hb = ac 2R hc = ab 2R
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1Задание В треугольнике со сторонами см см и см найти угол . Решение Поскольку известны стороны треугольника, то можно воспользоваться теоремой косинусов или откуда Тогда . Ответ
ПРИМЕР 2Задание В треугольнике основание см, а сторона на см больше стороны . Найти стороны треугольника, если площадь треугольника равна см. Решение Пусть сторона равна см, тогда см. Полупериметр рассматриваемого треугольника равен Воспользуемся формулой Герона для площади треугольника или откуда . Следовательно, сторона см см. Ответ см см