Трапеция. Равнобедренная трапеция. Средняя линия трапеции

Трапеция

• Трапецией называют фигуру с четырьмя углами и соответственно четырьмя сторонами. Получается, что трапеция — это выпуклый прямоугольник, две противоположные стороны которого параллельны и две противоположные не параллельны.
• Таким образом, у трапеции всего четыре стороны, из которых две параллельные называются меньшим и большим основаниями, а две не параллельные боковыми сторонами трапеции.
• Также существуют равнобедренные и прямоугольные трапеции. Равнобедренными называют трапеции, у которых противоположные боковые стороны равны, а прямоугольными называют трапеции, у которых два угла из четырёх имеют по 90 градусов.

Свойство и формулы

Серединная линия равняется половине сумм длины двух оснований. Это определение является теоремой, доказательство и для того чтобы его сформулировать, необходимо обратить внимание на свойство срединного отрезка в треугольнике.

Доказать теорему просто. Для этого в трапеции проводят серединный отрезок так, чтобы он опускался с верхней точки фигуры и пересекался с продленным нижним основанием. Такая линия делит четырёхугольник на два треугольника. Причем средняя линия фигуры также принадлежит треугольнику и выполняет те же функции. Она равна половине нижней стороны, которая состоит из двух отрезков, равных основаниям трапеции.

Свойство такого отрезка — в четырехугольнике он параллелен основаниям. Учитывая эти данные, их можно использовать как признак при решениях различных заданий для выявления этого понятия.

Формула для нахождения записывается так:

m = (a + b) / 2, где a, b — обозначение длины оснований.

Тригонометрия углов применима в формуле:

• m = a — h (ctga +ctg b)/ 2;
• m = b — h (ctga +ctg b)/ 2.

Полусумма оснований трапеции вычисляется через диагонали и их угол пересечения и высоту. Итак, для этого находится:

• m = d 1 d ² /2 h * sina;
• m = d 1 d 2 /2 h * sinb.

Углы а, b находятся при нижнем основании, а линия h является высотой, проведенной к этому отрезку.

Формула средней линии трапеции через площадь и высоту записывается так:

m = S / h.

Кроме этого, такой отрезок делит фигуру на две части и имеет место соотношение их площадей, которое выражается в виде:

S 1 /S 2 =3a+b/a+3b, где основания a<b.

Все эти формулы используются для решения задач и доказывания определённых утверждений.

Видео

Пример задачи

Средняя линия трапеции равняется 25 см, а ее высота – 7 см. Найдите площадь фигуры.

Решение

Как мы знаем, площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту h: S = ^(a+b)/₂ ⋅ h

В данном случае полусумма оснований – это и есть средняя линия. Обозначим ее буквой m. То есть m = ^(a+b)/₂.

Таким образом, S = m ⋅ h = 25 см ⋅ 7 см = 175 см².

Теги