Точки экстремума функции, необходимые и достаточные условия экстремума

Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке

Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке Точка  называется точкой локального максимума (мин возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке Точка  называется точкой локального максимума (мин

Точка Точки максимума и минимума называются точками экст называется точкой локального максимума (минимума) функции Точки максимума и минимума называются точками экст если существует окрестность точки Точки максимума и минимума называются точками экст для всех точек которой верно неравенство Точки максимума и минимума называются точками экстТочки максимума и минимума называются точками экст

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции Второе достаточное условие. Пусть функция  имеет п то либо Второе достаточное условие. Пусть функция  имеет п не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть Второе достаточное условие. Пусть функция  имеет п — критическая точка. Если f'(х) при переходе через точку Второе достаточное условие. Пусть функция  имеет п меняет знак плюс на минус, то в точке Второе достаточное условие. Пусть функция  имеет п функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке хо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция На отрезке  функция у = f(x) может достигать наиме имеет производную f'(х) в окрестности точки На отрезке  функция у = f(x) может достигать наиме и вторую производную На отрезке  функция у = f(x) может достигать наиме в самой точке На отрезке  функция у = f(x) может достигать наиме. Если На отрезке  функция у = f(x) может достигать наимеНа отрезке  функция у = f(x) может достигать наиме то точка На отрезке  функция у = f(x) может достигать наиме является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же На отрезке  функция у = f(x) может достигать наиме то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке Пример: функция у = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка Пример:.

Пример:

Найти экстремумы функции Решение:

Решение:

Так как Пример: то критические точки функции Пример: и Пример: Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку Пример: производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку Пример: производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке Пример: у функции минимум. Вычислив значения функции в точках Пример: и Пример: найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) =13.

Пример:

Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение:

Обозначим стороны площадки через Поскольку S непрерывна на  и ее значения на концах Площадь площадки равна Поскольку S непрерывна на  и ее значения на концах Пусть у — это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2х + у = а. Поэтому Поскольку S непрерывна на  и ее значения на концах (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). Поскольку S непрерывна на  и ее значения на концах откуда Поскольку S непрерывна на  и ее значения на концах Поскольку Поскольку S непрерывна на  и ее значения на концах— единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При Поскольку S непрерывна на  и ее значения на концах значит, в точке Поскольку S непрерывна на  и ее значения на концах функция S имеет максимум. Значение функции Поскольку S непрерывна на  и ее значения на концах

Поскольку S непрерывна на Таким образом, наиболее выгодным соотношением стор и ее значения на концах Таким образом, наиболее выгодным соотношением стор равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.

Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является у = 2х.

Пример:

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью Решение: Решение: Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра равна Мы знаем объем цилиндра Значит, Находим производную этой функции:следовательно,

Экстремумы функции

Введём несколько новых понятий. Окрестностью точки Точка  называется точкой минимума (максимума) функ называется любой промежуток, для которого Точка  называется точкой минимума (максимума) функ является внутренней точкой.

Точка точкой минимума (максимума) называется точкой минимума (максимума) функции Точки минимума и максимума обозначают  соответстве если для всех Точки минимума и максимума обозначают  соответстве из некоторой окрестности точки Точки минимума и максимума обозначают  соответстве выполняется неравенство Точки минимума и максимума обозначают  соответстве

Точки минимума и максимума обозначают Значение функции в точке минимума называется миним соответственно.

Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а в точке максимума — максимумом функции. Обозначают их: Точки минимума и максимума функции называют точкам

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума (лат. extremum — край, конец). Значения функции в точках её экстремума — её экстремальные значения, или экстремумы.

Например, для функции Для функции  точка  является точкой минимума (рис. точка Для функции  точка  является точкой минимума (рис. является точкой максимума (рис. 77). Её максимум: Для функции  точка  является точкой минимума (рис.

Для функции Функция, график которой изображён на рисунке 75, и точка Функция, график которой изображён на рисунке 75, и является точкой минимума (рис. 78). Её минимум: Функция, график которой изображён на рисунке 75, и

Функция, график которой изображён на рисунке 75, имеет четыре экстремальные точки: Точка экстремума функции не может принадлежать про — точки максимума; Точка экстремума функции не может принадлежать про и Точка экстремума функции не может принадлежать про — точки минимума.

Точка экстремума функции не может принадлежать промежутку, на котором эта функция возрастает или убывает (почему?). Следовательно, те точки, в которых производная функции положительная или отрицательная, не могут быть точками её экстремума. Все остальные точки области определения функции являются её критическими точками. Поэтому точками экстремума функции могут быть только её критические точки. Это — необходимое условие существования экстремума.

Выбрать из критических точек функции точки экстремума позволяет достаточное условие существования экстремума.

Пусть функция  непрерывна на промежутке  и  — её к

Пусть функция Действительно, если производная функции  отрицател непрерывна на промежутке Действительно, если производная функции  отрицател и Действительно, если производная функции  отрицател — её критическая точка, точка  при переходе через которую в направлении ро Тогда: точка  при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.

Действительно, если производная функции Если же производная функции в точке  равна нулю, а отрицательная, то при переходе через точку Если же производная функции в точке  равна нулю, а возрастание функции изменяется на убывание (рис. 79). В этом случае Если же производная функции в точке  равна нулю, а — точка максимума. Если же при переходе через точку Если же производная функции в точке  равна нулю, а убывание функции изменяется на возрастание, то Если же производная функции в точке  равна нулю, а — точка минимума (рис. 80).

Если же производная функции в точке  Заказать решение задач по высшей математике равна нулю, а слева и справа от  Заказать решение задач по высшей математике  производная функции положительная (рис.81) или слева и справа отрицательная, то  Заказать решение задач по высшей математике не является точкой экстремума.

Пример

Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции Решение:

Решение:

 Критические точки функции:  При переходе через точ

Критические точки функции:  При переходе через точку  производная меняет знаке  поэтому  —точка максимума. При переходе через точку  производная меняет знак с  поэтому  — точка минимума (рис. 82).

Ответ.

Ответ. Нахождение экстремумов функции можно оформлять в в

Нахождение экстремумов функции можно оформлять в виде таблицы, как на с. 176. Особенно это удобно при общем исследовании функции, когда находят не только её экстремумы, но и другие свойства, строят её график.

Чтобы исследовать функцию, можно пользоваться следующей схемой:

  1. найти область определения функции;
  2. исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
  3. найти точки пересечения графика функции с осями координат;
  4. исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
  5. найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
  6. найти асимптоты графика функции;
  7. построить график функции.

Пример

Исследуйте функцию Решение: и постройте её график.

Решение:

Область определения функции — все действительные числа, кроме Уравнение  не имеет решений, поэтому график функци Поскольку она не симметрична относительно нуля, то функция не может быть чётной или нечётной. Функция непериодическая.

Уравнение  не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось  Ось  он пересекает в точке с ординатой 

Критические точки: 

Критические точки: Составим и заполним таблицу.

Составим и заполним таблицу. На промежутках  функция возрастает, на промежутках

На промежутках Область значений функции:  функция возрастает, на промежутках  Область значений функции:  функция убывает. Область значений функции:  — точка максимума,  Область значений функции:  Область значений функции:  —точка минимума, Область значений функции:  

Область значений функции: График функции имеет вертикальную асимптоту  так к

График функции имеет вертикальную асимптоту График этой функции изображён на рисунке 83. так как График этой функции изображён на рисунке 83.

График этой функции изображён на рисунке 83.

Пример

Может ли нечётная функция иметь экстремум в точке Решение: А чётная функция?

Решение:

Нечётная функция не может. Если в окрестности точки  функция имеет экстремум, то с одной стороны от нуля она возрастает, а с другой — убывает, или наоборот. А нечётная функция — или только возрастает, или только убывает в окрестности точки  Чётная функция может. Например, функция 

Пример

Существуют ли такие числа Решение: при которых имеет экстремум функция Решение:

Решение:

При любых действительных значениях Ответ. Не существуют.Ответ. Не существуют. В каждой точке Ответ. Не существуют.производная данной функции неотрицательная. Функция Ответ. Не существуют.возрастает на Ответ. Не существуют. поэтому не может иметь экстремумов.

Ответ. Не существуют.

Видео

Ищем экстремумы функции вместе

Пример 3. Найти экстремумы функции    и   построит

Пример 3. Найти экстремумы функции Решение. Функция определена и непрерывна на всей ч и построить её график.

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная (и первое, и второе слагаемые — табличная производная 3) Для интервала    контрольной точкой может служить существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых Для интервала    контрольной точкой может служить , т.е. Для интервала    контрольной точкой может служить , откуда Для интервала    контрольной точкой может служить и Для интервала    контрольной точкой может служить . Критическими точками Для интервала    контрольной точкой может служить и Для интервала    контрольной точкой может служить разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: Для интервала    контрольной точкой может служить . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Для интервала Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе контрольной точкой может служить Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе: находим Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе. Взяв в интервале Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе точку Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе, получим Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе, а взяв в интервале Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе точку Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе, имеем Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе. Итак, в интервалах Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе и Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе, а в интервале Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе. Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе), а в точке Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе, а Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе. В интервале Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе функция убывает, так как в этом интервале Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе, а в интервале Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе возрастает, так как в этом интервале Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пе.

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применениеПример 4. Найти экстремумы функции    и   построит

Пример 4. Найти экстремумы функции Областью определения функции является вся числовая и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки Для сокращения исследования можно воспользоваться , т.е. Для сокращения исследования можно воспользоваться .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как Oy. Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала Находим производную (каждое слагаемое находим как .

Находим производную (каждое слагаемое находим как табличную производную 3)   1) ; и критические точки функции:

  1)   2) ,;

  2) но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она,

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: Чтобы составить более полное представление о графи и Чтобы составить более полное представление о графи. Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку Чтобы составить более полное представление о графи. Для этого найдём вторую производную Чтобы составить более полное представление о графи и определим её знак при Чтобы составить более полное представление о графи: получим Чтобы составить более полное представление о графи. Так как Чтобы составить более полное представление о графи и Чтобы составить более полное представление о графи, то Чтобы составить более полное представление о графи является точкой минимума функции, при этом Чтобы составить более полное представление о графи.

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом    обозначено стремление x к нулю

(здесь символом x обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично x означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если ,, то ,. Далее, находим

т.е. если ,   то .,

т.е. если Точек пересечения с осями график функции не имеет., то Точек пересечения с осями график функции не имеет..

Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок — в начале примера.

Примеры исследования функции на экстремум

ПРИМЕР 1

Задание Найти экстремум функции Решение Найдем критические точки функции, для этого вычислим производную заданной функции приравняем её к нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения Получили две критические точки . Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах. В точке производная меняет знак с «+» на «-», значит в этой точке максимум. Вычислим значение максимума В точке производная меняет знак с «-» на «+», значит, — точка минимума. Значение минимума соответственно равно Ответ

ПРИМЕР 2

Задание Найти экстремум функции Решение Область определения функции — вся числовая прямая, за исключением точки , то есть . Вычислим производную заданной функции и найдем критические точки Приравниваем к нулю производную Получаем одну критическую точку . Обозначим на числовой оси область определения функции и найденную критическую точку и определим знак производной на полученных интервалах В точке производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке минимум. Значение минимума соответственно равно Ответ

Теги

Популярные:

Последние:

Adblock
detector