Точки экстремума функции, необходимые и достаточные условия экстремума

Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при

Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции если существует окрестность точки для всех точек которой верно неравенство

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции то либо не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть — критическая точка. Если f'(х) при переходе через точку меняет знак плюс на минус, то в точке функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке хо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция имеет производную f'(х) в окрестности точки и вторую производную в самой точке . Если то точка является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция у = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример:

Найти экстремумы функции

Решение:

Так как то критические точки функции и Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке у функции минимум. Вычислив значения функции в точках и найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) =13.

Пример:

Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение:

Обозначим стороны площадки через Площадь площадки равна Пусть у — это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2х + у = а. Поэтому (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). откуда Поскольку — единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При значит, в точке функция S имеет максимум. Значение функции

Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.

Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является у = 2х.

Пример:

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра равна Мы знаем объем цилиндра Значит, Находим производную этой функции:следовательно,

Экстремумы функции

Введём несколько новых понятий. Окрестностью точки  называется любой промежуток, для которого  является внутренней точкой.

Точка  называется точкой минимума (максимума) функции  если для всех  из некоторой окрестности точки  выполняется неравенство 

Точки минимума и максимума обозначают  соответственно.

Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а в точке максимума — максимумом функции. Обозначают их: 

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума (лат. extremum — край, конец). Значения функции в точках её экстремума — её экстремальные значения, или экстремумы.

Например, для функции  точка  является точкой максимума (рис. 77). Её максимум: 

Для функции  точка  является точкой минимума (рис. 78). Её минимум: 

Функция, график которой изображён на рисунке 75, имеет четыре экстремальные точки:  — точки максимума;  и  — точки минимума.

Точка экстремума функции не может принадлежать промежутку, на котором эта функция возрастает или убывает (почему?). Следовательно, те точки, в которых производная функции положительная или отрицательная, не могут быть точками её экстремума. Все остальные точки области определения функции являются её критическими точками. Поэтому точками экстремума функции могут быть только её критические точки. Это — необходимое условие существования экстремума.

Выбрать из критических точек функции точки экстремума позволяет достаточное условие существования экстремума.

Пусть функция  непрерывна на промежутке  и  — её критическая точка,  Тогда: точка  при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.

Действительно, если производная функции  отрицательная, то при переходе через точку  возрастание функции изменяется на убывание (рис. 79). В этом случае  — точка максимума. Если же при переходе через точку  убывание функции изменяется на возрастание, то  — точка минимума (рис. 80).

Если же производная функции в точке  равна нулю, а слева и справа от  производная функции положительная (рис.81) или слева и справа отрицательная, то  не является точкой экстремума.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример

Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции 

Решение:

 

Критические точки функции:  При переходе через точку  производная меняет знаке  поэтому  —точка максимума. При переходе через точку  производная меняет знак с  поэтому  — точка минимума (рис. 82).

Ответ.

Нахождение экстремумов функции можно оформлять в виде таблицы, как на с. 176. Особенно это удобно при общем исследовании функции, когда находят не только её экстремумы, но и другие свойства, строят её график.

Чтобы исследовать функцию, можно пользоваться следующей схемой:

1. найти область определения функции;
2. исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
3. найти точки пересечения графика функции с осями координат;
4. исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
5. найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
6. найти асимптоты графика функции;
7. построить график функции.

Пример

Исследуйте функцию  и постройте её график.

Решение:

Область определения функции — все действительные числа, кроме  Поскольку она не симметрична относительно нуля, то функция не может быть чётной или нечётной. Функция непериодическая.

Уравнение  не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось  Ось  он пересекает в точке с ординатой 

Критические точки: 

Составим и заполним таблицу.

На промежутках  функция возрастает, на промежутках   функция убывает.  — точка максимума,    —точка минимума,  

Область значений функции: 

График функции имеет вертикальную асимптоту  так как 

График этой функции изображён на рисунке 83.

Пример

Может ли нечётная функция иметь экстремум в точке  А чётная функция?

Решение:

Нечётная функция не может. Если в окрестности точки  функция имеет экстремум, то с одной стороны от нуля она возрастает, а с другой — убывает, или наоборот. А нечётная функция — или только возрастает, или только убывает в окрестности точки  Чётная функция может. Например, функция 

Пример

Существуют ли такие числа  при которых имеет экстремум функция 

Решение:

При любых действительных значениях  В каждой точке производная данной функции неотрицательная. Функция возрастает на  поэтому не может иметь экстремумов.

Ответ. Не существуют.

Видео

Ищем экстремумы функции вместе

Пример 3. Найти экстремумы функции и построить её график.

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная (и первое, и второе слагаемые — табличная производная 3) существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых , т.е. , откуда и . Критическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Пример 4. Найти экстремумы функции и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала .

Находим производную (каждое слагаемое находим как табличную производную 3) и критические точки функции:

  1) ;

  2) ,

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: и . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку . Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим . Так как и , то является точкой минимума функции, при этом .

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим

,

т.е. если , то .

Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок — в начале примера.

Примеры исследования функции на экстремум

ПРИМЕР 1

Задание Найти экстремум функции Решение Найдем критические точки функции, для этого вычислим производную заданной функции приравняем её к нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения Получили две критические точки . Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах. В точке производная меняет знак с «+» на «-», значит в этой точке максимум. Вычислим значение максимума В точке производная меняет знак с «-» на «+», значит, — точка минимума. Значение минимума соответственно равно Ответ

ПРИМЕР 2

Задание Найти экстремум функции Решение Область определения функции — вся числовая прямая, за исключением точки , то есть . Вычислим производную заданной функции и найдем критические точки Приравниваем к нулю производную Получаем одну критическую точку . Обозначим на числовой оси область определения функции и найденную критическую точку и определим знак производной на полученных интервалах В точке производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке минимум. Значение минимума соответственно равно Ответ

Теги