Синус тупого угла

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему. Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию. 

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А р

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Видео

Теорема косинусов

Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны АВС  треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон ). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольн

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сум­ме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е. 

Доказательство:

Доказательство:

Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166). Проведем высоту ВН к стороне АС. Из  находим  откуда 
Из  по теореме Пифагора

По основному тригонометрическому тождеству 
  Тог

По основному тригонометрическому тождеству 
Тогда Справедливость теоремы для случаев, когда  или  ту

Справедливость теоремы для случаев, когда 
 Замечание. Если , то по теореме Пифагора  Так к или 
 тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана. Для сторон 
 Замечание. Если , то по теореме Пифагора  Так к теорема косинусов запишется так:


Замечание. Если • зная две стороны и угол между ними, найти третью, то по теореме Пифагора • зная две стороны и угол между ними, найти третью Так как • зная две стороны и угол между ними, найти третью то 
 Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов. С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:

• зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;

• зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.

Следствие:

Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, най­ти его углы (косинусы углов). Из равенства  следует формула

Для углов получим:

Для углов получим:

Пример:

Пример:

В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).

По теореме косинусов

По теореме косинусов

Используя записанную выше формулу, можно сра­зу по

Используя записанную выше формулу, можно сра­зу получить: 

Следствие:

Следствие:

С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.  

Так, из формулы  если  то  и угол  острый; если  то  и угол  тупой с учетом того, что  если  то  и угол  острый; если  то  и угол  тупой следует:

  1. если если  то  и угол  тупой; то если  то  и угол  тупой; и угол если  то  и угол  тупой; острый;
  2. если если  то  и угол  прямой. то если  то  и угол  прямой. и угол если  то  и угол  прямой. тупой;
  3. если  то  и угол  прямой.

При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.  

Пример:

Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как Сформулируем правило определения вида треугольника то Сформулируем правило определения вида треугольника угол Сформулируем правило определения вида треугольника тупой и данный треугольник тупоугольный.

Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:

  1. остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон: тупоугольным, если квадрат его большей стороны бол
  2. тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:прямоугольным, если квадрат его большей стороны ра
  3. прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон:

Следствие:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадра­тов всех его сторон: 

Доказательство:

Доказательство:

Пусть в параллелограмме ABCD                                    (2)— острый, откуда                                    (2) — тупой (рис. 169). По теореме косинусов из 

                                     (1) Из                                    (2) Поскольку cos                                    (2) то

Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), пол                                   (2)

Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим Данная формула дает возможность: что и требовалось доказать.

Данная формула дает возможность:

  • • зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
  • • зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.

Следствие:

Медиану   треугольника со сторонами а, b и с можно найти по фор­муле  

 Доказательство:

Доказательство:

Рассмотрим Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольниAM  — медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину: Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольни

Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма Аналогично: Аналогично:  Отсюда следует, что 
Утверждение доказано.

Аналогично: Формула медианы позволяет:

Формула медианы позволяет:

  • зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
  • зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
  • зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.

Пример:

а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3,  Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.

Решение:

а) По теореме косинусов  Отсюда  б) Пусть  По теореме косинусов  то есть  

Пример: Отсюда Пример: б) Пусть Пример: По теореме косинусов Пример: то есть Пример:Пример: Отсюда Пример: или 
 так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника. Ответ: а) 7; б) 3 или 5.

Пример:

Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь — 
Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.

Решение:

Решение:

Пусть в АВ стороны АВ = 6, ВС = 10 и 
 (рис. 171). Поскольку Ответ: 14. то Ответ: 14. откуда 
Так как Ответ: 14. и по условию Ответ: 14. — тупой, то АС . Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:Ответ: 14.

Ответ: 14.

Пример:

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.

Решение:

Решение:

Обозначим стороны треугольника  Пусть 
 — медиана (рис. 172). По формуле медианы  откуда  По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:
Ответ: 24.

Формула Герона

Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию: Теорема (формула Герона). а также по двум сторонам и углу между ними: Теорема (формула Герона). Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.

Теорема (формула Герона).

Площадь треугольника со сторонами  можно найти по формуле  где — полупериметр треугольника.

Доказательство:

Доказательство:

Тогда  (рис. 183). Из основ­ного тригонометрического тождества Тогда  следует, что Тогда  Для Тогда  синус положительный. Поэтому Тогда Из теоремы косинусов Тогда  откуда Тогда 

Тогда 

Так как

Так какТеорема доказана.

Теорема доказана.

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.

Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.  

Пример (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними)

Дано: (рис. 184).

Дано: Найти : 
   (рис. 184).

Найти : 
 

Решение:

Рис. 184 1) По теореме косинусов 2) По следствию из теоремы косинусов

2) По следствию из теоремы косинусов 3) Угол  находим при помощи калькулятора или табли

3) Угол 4) Угол 
 Замечание. Нахождение угла  по теореме  находим при помощи калькулятора или таблиц.

4) Угол 
Замечание. Нахождение угла  по теореме синусов требует выяснения того, острый или тупой угол 
 

Пример (решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Дано: (рис. 185).

Дано: Найти: (рис. 185).

Найти: Решение:

Решение:

1) Угол 2) По теореме синусов (sin  и sin  находим при пом

2) По теореме синусов 3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинус(sin 3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинус и sin 3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинус находим при помощи калькулятора или таблиц).

3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоре­мы синусов: или (cos и sin находим при помощи калькулятора или таблиц).

Пример (решение треугольника по трем сторонам)

Дано:  (рис. 186).

Найти: и радиус R описанной окружности.

Найти: Rи радиус R описанной окружности.

Решение:

1) По следствию из теоремы косинусов

2) Зная  угол  находим при помощи калькулятора или

2) Зная 3) Аналогично находим угол  угол 3) Аналогично находим угол  находим при помощи калькулятора или таблиц.

3) Аналогично находим угол  4) Угол

 4) Угол  5) Радиус R описанной окружности треугольника мож

 5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по фор­муле Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нах где 
 

Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов  затем нахождение по косинусу угла его синуса  и, наконец, использование теоремы синусов  Rдля нахождения R.

Пример

Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

Решение:

Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим:  Тогда  Тогда 

 Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы  Тогда  Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы

R Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы  Имеем: 
Ответ: 
Способ 2. Так как поскольку  то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов:  а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: 
 

Пример

Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.

Решение:

Решение:

Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и  Проведем АВСК  (рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD — АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:

 Так как СН = 8. Площадь трапеции

Ответ: 76.
    Так как СН СН = 8. Площадь трапеции Ответ: 76.
   

Ответ: 76.  

Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

Пример:

Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).

Решение:

Решение:

Пусть Ответ: 
 Замечание. Вторым способом решения будет
 Найдем длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°. Поэтому 
Так как в четырехугольнике АВМС AM , то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е. R где R — радиус. Из Ответ: 
 Замечание. Вторым способом решения будет по теореме косинусов Ответ: 
 Замечание. Вторым способом решения будетОтвет: 
 Замечание. Вторым способом решения будет Из Ответ: 
 Замечание. Вторым способом решения будет по теореме синусов Ответ: 
 Замечание. Вторым способом решения будет откуда Ответ: 
 Замечание. Вторым способом решения будетОтвет: 
 Замечание. Вторым способом решения будет

Ответ: 
Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треуголь­ников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.

Пример

В прямоугольном треугольнике АВС известно:  высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.

Решение:

Решение:

Построим  симметричный АВ  относительно прямой АВ (см. рис. 190). Поскольку  то вокруг четырехугольника АВ  можно описать окруж­ность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник  вписан в эту окруж­ность,  По теореме синусов  откуда 
Ответ: 8.

Пример

Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС =  На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.

Решение:

Решение:

Способ 1. Так как ADFB  (диагона­ли квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то АОВС  поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диа­метр Пусть СО = х. По теореме косинусов из  находим  Тогда Пусть СО = х. По теореме косинусов из  находим

Пусть СО = х. По теореме косинусов из из  находим  находим из  находим

из По свойству вписанного четырехугольника  Поскольку находим По свойству вписанного четырехугольника  Поскольку

По свойству вписанного четырехугольника  Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гл Поскольку  Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гл то  Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая глоткуда находим  Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая глТогда  Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гл.

 Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):

Способ 3. Достроим  до квадрата CMNK, как показано

Способ 3. Достроим CMNK до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда 
Ответ: 
 

Пример

Точка О — центр окружности, вписанной в треуголь­ник АВС,  Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).

Решение:

Решение:

Пусть 
 и 
 — радиус вписанной окружности (рис. 193). Тогда Отсюда  Применим формулу Герона:

Отсюда  Применим формулу Герона:

С другой стороны,  Из уравнения  находим  = 2. Отк

С другой стороны,  Из уравнения  находим  = 2. Откуда  (см),  (см), 
 (см). Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.

Теорема Стюарта

Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.  

Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отре­зок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула

Доказательство:

Доказательство:

По теореме косинусов из                                      (1)и                                      (1) (см. рис. 194) следует:

              (2)                                     (1)

Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2              (2)

Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на 
Сложим почленно полученные равенства:
 
  Из пос

Сложим почленно полученные равенства: 
Из последнего равенства выразим 
Следствие:Теорема доказана.

Следствие:

Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)

Доказательство:

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника  По теореме Стюарта  Разделив сторону  По теореме Стюарта с в отношении  По теореме Стюарта  получим: 

 По теореме Стюарта

Пример

Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).

Доказательство:

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС,  ВС = а и АС = b — биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и По формуле биссектрисы треугольника  (рис. 196). Нужно доказать, что По формуле биссектрисы треугольника  Выразим По формуле биссектрисы треугольника  и через По формуле биссектрисы треугольника  и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому По формуле биссектрисы треугольника  откуда По формуле биссектрисы треугольника По формуле биссектрисы треугольника  откуда По формуле биссектрисы треугольника 

По формуле биссектрисы треугольника 

Из условия  следует:  Перенеся слагаемые в одну ст

Из условия  следует:  Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим:  Отсюда  (второй множитель при положительных  больше нуля). Утверждение доказано.

Теги

Популярные:

Последние:

Adblock
detector