Содержание материала
Определение косинуса угла
Определение Косинус — это прилежащая сторона катет к гипотенузе, обозначается как (cos).
Угловые значения функции в градусах (cos):
\[\cos 0^{\circ}=1 ; \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} ; \cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} ; \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2} ;\]\[\cos 90^{\circ}=0 ; \cos 120^{\circ}=-\frac{1}{2} ; \cos 135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2} ; \cos 150^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2} ;\]\[\cos 180=-1 ; \cos 210^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2} ; \cdot \cos 225^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2} ;\]\[\cos 240^{\circ}=-\frac{1}{2} ; \cos 270^{\circ}=0 ; \cos 300^{\circ}=\frac{1}{2} ; . \cos 315^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} ;\]\[\cos 330^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} ; \cos 360^{\circ}=1\]Формулы кратности значения угла:
\[\cos 2 a=\cos ^{2} a-\sin ^{2} a\]\[\cos 2 a=1-\sin ^{2} a\]\[\cos 2 a=2 \cos ^{2} a-1\]\[\cos 3 a=\cos ^{3} a-3 \sin ^{2} a\]\[\cos 3 a=-3 \cos a+4 \cos ^{3} a\]Формулы угла, определяющие половину тригонометрического значения (половинного угла):
\[\cos ^{2} \frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}\]Видео
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Косинус любого угла
Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.
Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.
Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.
И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).
Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.
Стоит запомнить, что:
Производные
\( ( \sin x )’ = \cos x \)\( ( \cos x )’ = — \sin x \). Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:\( \left( \sin x \right)^{(n)} = \sin\left( x + n\dfrac{\pi}2 \right) \)\( \left( \cos x \right)^{(n)} = \cos\left( x + n\dfrac{\pi}2 \right) \).
Тригонометрическое определение
С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.
На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.
Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса
Косинус угла — это абсцисса точки. Синус угла — это ордината точки.
На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.
Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.
Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от до .
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Функция \(y=\cos{x}\)
Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:
График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:
— область определения – любое значение икса: \(D(\cos{x} )=R\) — область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно: \(E(\cos{x} )=[-1;1]\) — четная: \(\cos(-x)=\cos{x}\) — периодическая с периодом \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos{x}\) — точки пересечения с осями координат: ось абсцисс: \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\) ось ординат: \((0;1)\) — промежутки знакопостоянства: функция положительна на интервалах: \((-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\) функция отрицательна на интервалах: \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\) — промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на интервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\) функция убывает на интервалах: \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\) — максимумы и минимумы функции: функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\) функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).
Смотрите также:
Синус Тангенс Котангенс Решение уравнения \(\cosx=a\)