Синус острого угла (sin)

Синус угла sin(A), таблица

° Синус угла 0 градусов	$ \sin(0°) = \sin(0) = 0 $	0.000
30° Синус угла 30 градусов	$ \sin(30°) = \sin\Big(\Large\frac{\pi}{6}\normalsize\Big) = \Large\frac{1}{2}\normalsize $	0.500
45° Синус угла 45 градусов	$ \sin(45°) = \sin\Big(\Large\frac{\pi}{4}\normalsize\Big) = \Large\frac{\sqrt{2}}{2}\normalsize $	0.707
60° Синус угла 60 градусов	$ \sin(60°) = \sin\Big(\Large\frac{\pi}{3}\normalsize\Big) = \Large\frac{\sqrt{3}}{2}\normalsize $	0.866
90° Синус угла 90 градусов	$ \sin(90°) = \sin\Big(\Large\frac{\pi}{2}\normalsize\Big) = 1 $	1.000

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла  — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:  

• tg²α + 1 =

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

• 1 + ctg²α =

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества: sin²α + cos²α = 1.  

1. Для этого нужно поделить обе части тождества на cos²α, где косинус не равен нулю.
2. В результате деления получаем формулу tg²α + 1 =
3. Если обе части основного тригонометрического  тождества sin²α + cos²α = 1 разделить на  sin²α, где синус не равен нулю, то получим тождество: 1 + ctg²α = . 
4. Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg²α + 1 = применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число.
5. А тригонометрическое тождество 1 + ctg²α = применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число. 

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами. 

Основные тригонометрические тождества

1	sin2α + cos2α = 1
2
3
4 Читайте также: § Нахождение числа по его дроби. Как найти целое по известной части	tgα * ctgα = 1
5	tg2α + 1 =
6	1 + ctg2α = Читайте также: Основные формулы и законы электротехники —

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Видео

Как считать коэффициенты

В википедии, в статье про полиномы Чебышёва есть фраза: «Многочлены Чебышёва играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышёва первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами«. Это как раз наш случай.

Посмотрим ещё раз на их графики:

Голубая линия (полином 2-й степени) пересекает ось абсцисс (y=0) в двух точках x = ±0.7071. Оранжевая (3-й степени) — в трёх точках: x = 0 и x = ±0.866. Это и есть корни полиномов, они будут использованы «в качестве узлов в интерполяции».

Ещё небольшое отступление, как представлять аргументы. На 32-битных процессорах полный период (круг) удобно представить как 2³² (0x100000000), а угол, соответственно, в диапазоне от до 0xffffffff. Если количество интервалов аппроксимации, на которые разбит круг, равно 2ⁿ, то угол можно интерпретировать как двоичное число с фиксированной точкой. Например, при разбиении на 64 интервала (2⁶), угол будет интерпретироваться как число размерности 6.26. Здесь старшие 6 бит — это номер интервала (считая от нуля), а младшие 26 бит — смещение внутри него.

Возьмём, для примера, угол 15°. Если вычислить 15°/360° · 2³², то получим 0000_1010_1010_1010_1010_1010_1010_1011 в двоичном виде. В размерности 6.26 будет выглядеть как 000010.10101010101010101010101011. Здесь первые 6 бит 000010 — это десятичное 2 (2-й интервал), а оставшиеся 26 10101010101010101010101011, будучи поделены на 2²⁶, дадут 0.66666667 — это смещение внутри интервала. То же самое получим: 2.66666667 = 64 * 15/360.

Смещение внутри интервала лежит в диапазоне 0.0 ≤ x < 1.0. К нему же надо привести корни многочленов Чебышёва, которые находятся между -1 и +1. Корни полинома 2-й степени превратятся 0.14645 и 0.85355, 3-й степени — 0.066987, 0.5 и 0.933013.

Теперь давайте найдём коэффициенты A0, A1 и т.д. При аппроксимации полиномом 1-й степени y = A1·x + A0 нам нужно, что бы на заданном интервале с номером N в точке со смещением 0.14645 целевое значение было равно y=sin((N + 0.14645)/64 * 2π), а в точке 0.85355 — y=sin((N + 0.85355)/64 * 2π). Это делается при помощи системы из двух линейных уравнений с 2 неизвестными A1 и A0:

A1·0.14645 + A0 = sin((N + 0.14645)/64 * 2π)
A1·0.85355 + A0 = sin((N + 0.85355)/64 * 2π)

Для интервала N=2 (где находится 15°), получаем: A1 = 0.09521 и A0 = 0.19523.

Пройдясь по всем N, от 0 до 63, получим таблицу с наборами коэффициентов A1 и A0. С ней уже можно считать синус с точностью 10.7 бит. Как это делать, расскажу ниже (если кто до сих пор не понял сам).

Перейдём ко 2-й степени y = A2·x² + A1·x + A0. В качестве аргумента x подставим, соответственно, корни полинома 3-й степени 0.066987, 0.5 и 0.933013. Напишем систему из 3 уравнений с 3 неизвестными A2, A1 и A0:

A2·0.066987² + A1·0.066987 + A0 = sin((N + 0.066987)/64 * 2π)
A2·0.5² + A1·0.5 + A0 = sin((N + 0.5)/64 * 2π)
A2·0.933013² + A1·0.933013 + A0 = sin((N + 0.933013)/64 * 2π)

Решения для интервала N=15 будут следующие:

A2 = -0.004812613
A1 = +0.009628370
A0 = +0.995184425

Обратите внимание на A2 и A1. Если их умножить 2⁷ и 2⁶ соответственно, то их значения всё равно будет лежать в пределах от -1 до +1. Интервал №15 я выбрал не случайно — на нём значение A0 максимально и близко к 1.

Вообще, в большинстве случаев коэффициенты при больших степенях можно увеличить на некий коэффициент. При целочисленных операциях это уменьшит погрешность вычислений, а на Cortex-M3 к тому же сократит их время — об этом я расскажу ниже.

Для вычисления таблиц других размеров в предыдущую систему уравнений вместо 64 нужно подставить нужный размер. Для аппроксимации полиномом степени P нужно найти корни полинома Чебышёва степени P+1, и записать систему из P+1 уравнений с P+1 неизвестными, не забывая возводить корень многочлена в нужную степень ‘n’ при каждом An. (Если предыдущее предложение непонятно, то ничего страшного. Ближе к концу статьи будет ссылка на готовый генератор таблиц и краткая инструкция к нему.)

Cинус, косинус, тангенс, котангенс угла в прямоугольном треугольнике

Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла?

Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Всё верно, гипотенуза и катеты.

Гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \( AC\))

Катеты – это две оставшиеся стороны \( AB\) и \( BC\) (те, что прилегают к прямому углу).

Причём, если рассматривать катеты относительно угла \( \angle BAC\), то катет \( AB\) – это прилежащий катет, а катет \( BC\) — противолежащий.

Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике \( \sin \beta =\frac{BC}{AC}\).

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике \( \cos \beta =\frac{AB}{AC}\).

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике \( tg\beta =\frac{BC}{AB}\).

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике \( ctg\beta =\frac{AB}{BC}\).

Эти определения необходимо запомнить!

Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе.

А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;

Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле).

Не веришь?

Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла \( \beta \).

По определению, из треугольника \( ABC\): \( \cos \beta =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).

Но ведь мы можем вычислить косинус угла \( \beta \) и из треугольника \( AHI\): \( \cos \beta =\frac{AH}{AI}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\).

Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника \( ABC\), изображённого ниже на рисунке, найдём \( \sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\( \begin{array}{l}\sin \ \alpha =\frac{4}{5}=0,8\\\cos \ \alpha =\frac{3}{5}=0,6\\tg\ \alpha =\frac{4}{3}\\ctg\ \alpha =\frac{3}{4}=0,75\end{array}\)Ну что, уловил?

Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \( \beta \).

Ответы: \( \sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\frac{4}{3}\).

Синус любого угла

Благодаря единичному кругу можно определять тригонометрические функции не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить \(sin∠КОА\) с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам \(\sin⁡∠KOA\).

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.

Как вы могли заменить, и синус числа, и синус произвольного угла определяется практически одинаково. Изменяются только способ нахождения точки на окружности.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от $—\infty$ до $+\infty$. 

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Немного вводных:

• Синус угла  — это ордината y.
• Косинус угла  — это абсцисса x.
• Тангенс угла  — это отношение ординаты к абсциссе. 
• Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

• tg α =
• ctg α =

Исходя из определений:

• tg α = =
• ctg α = =

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества 

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон. 

• Например,  выражение применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число. В противном случае, в знаменателе будет стоять 0.

Выражение

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число. 

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Функция \(y=\sin⁡x\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения синуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется синусоида и обладает следующими свойствами:

      — область определения – любое значение икса:   \(D(\sin⁡x )=R\)       — область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно:    \(E(\sin⁡x )=[-1;1]\)       — нечетная:   \(\sin⁡(-x)=-\sin⁡x\)       — периодическая с периодом \(2π\):   \(\sin⁡(x+2π)=\sin⁡x\)       — точки пересечения с осями координат:              ось абсцисс:   \((πn;0)\), где \(n ϵ Z\)              ось ординат:   \((0;0)\)       — промежутки знакопостоянства:              функция положительна на интервалах:   \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)              функция отрицательна на интервалах:    \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)       — промежутки возрастания и убывания:              функция возрастает на интервалах:    \((-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)              функция убывает на интервалах:    \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)        — максимумы и минимумы функции:              функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn\), где \(n ϵ Z\)              функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn\), где \(n ϵ Z\).

Смотрите также:

Косинус Тангенс Котангенс Решение уравнения \(\sin⁡x=a\)

Теги