Содержание материала
- Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения
- Видео
- Правила нахождения координат середины отрезка, формулы
- Середина отрезка на координатной прямой
- Середина отрезка на плоскости
- Середина отрезка в пространстве
- Координаты середины отрезка
- Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
- Середина отрезка на плоскости
- Как построить середину отрезка с помощью циркуля и линейки?
Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения
В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.
Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .
Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .
Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .
Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B
И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.
Правила нахождения координат середины отрезка, формулы
Середина отрезка на координатной прямой
Предположим, что несовпадающие точки A и B лежат на координатной прямая Ох. Известно, что A и B соответствуют действительные числа xA и xB, а точка С делит AB пополам. Определите координату xC, соответствующую С.
Так как C — это середина AB, то справедливо следующее равенство:
\(\left|AC\right|=\left|CB\right|\)
Вычислим расстояние между A и C, а также между C и B. Для этого определим модуль разницы их координат. На математическом языке это будет иметь вид:
\(\left|AC\right|=\left|CB\right|\Leftrightarrow\left|x_C-x_A\right|=\left|x_B-x_C\right|\)
Опустим знак модуля и получим справедливость двух выражений:
\(x_C-x_A=x_B-x_C\)
\(x_C-x_A=-\left(x_B-x_C\right)\)
Исходя из первого равенства, получим формулу нахождения xC, согласно которой координата точки С равна половине суммы координат A и B:
\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)
Следствием второго равенства будет следующее утверждение:
\(x_A=x_B\)
Это противоречит заданным условиям, следовательно, формула определения координат середины отрезка выглядит так:
\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)
Середина отрезка на плоскости
В декартовой системе координат Oxy расположены две точки A(xA,yA) и B(xB,yB), которые не совпадают между собой. Точка C является центром AB. Необходимо произвести вычисление координат xC и yC, соответствующих С.
Пусть произвольные точки А и В лежат на одной координатной прямой, а также не принадлежат прямым, располагающимся перпендикулярно к оси абсцисс или ординат. Опустим от заданных точек A, B, C перпендикуляры на ось x на ось y. Полученные точки пересечения с осями координат Ax, Ay; Bx, By; Cx, Cy — это проекции исходных точек.
По построению прямые AAx, BBx, CCx относительно друг друга находятся параллельно. Прямые AAy, BBy, CCy не пересекаются, то есть являются параллельными. Согласно равенству AB=BC, далее применим теорему Фалеса и получим:
\(A_xC_x=C_xB_x\)
\(A_yC_y=C_yB_y\)
Это значит, что Cx и Cy являются серединами отрезков AxBx и AyBy соответственно. Теперь воспользуемся формулой определения координат середины отрезка на координатной прямой и получим:
\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)
\(y_C=\frac{y_A+y_B}2\)
Данные формулы подходят для вычисления координат середины отрезка в случае его расположения на осях абсцисс и ординат, а также при перпендикулярности одной из них. Следовательно, координаты центра отрезка AB, находящегося в плоскости и ограниченного точками A(xA,yA) и B(xB,yB), вычисляются следующим образом:
\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2\right)\)
Середина отрезка в пространстве
Допустим, что в трехмерной системе координат Oxyz любые две точки с соответствующими им координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB). C(xC, yC, zC) — это центр АВ. Задание заключается в том, чтобы определить xC, yC, zC.
Проведем от исходных точек перпендикуляры к прямым Ox, Oy и Oz. Образовавшиеся точки пересечения с координатными осями — Ax, Ay, Az; Bx, By, Bz;Cx, Cy, Cz — проекции точек A, B, C на них.
Воспользуемся теоремой Фалеса:
\(\left|A_xC_x\right|=\left|C_xB_x\right|\)
\(\left|A_yC_y\right|=\left|C_yB_y\right|\)
\(\left|A_zC_z\right|=\left|C_zB_z\right|\)
Исходя из полученных равенств следует, что Cx, Cy, Cz — делят AxBx, AyBy, AzBz пополам, то есть являются серединами перечисленных отрезков. Значит, для определения координат центра AB с концами A(xA,yA,zA) и B(xB,yB,zB) используем формулу:
\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2,\;\frac{z_A+z_B}2\right)\)
Видео
Координаты середины отрезка
Пусть в пространстве есть отрезок АВ, и координаты его концов известны. Точка М – середина этого отрезка. Как вычислить ее координаты? Рассмотрим взаимосвязь векторов АМ, МВ и АВ:
Раз М – середина АВ, то вектора АМ и МВ имеют равные длины, и при этом они находятся на одной прямой. Значит, эти вектора равны и потому у них одинаковые коорд-ты:
Аналогично можно получить аналогичные формулы для коорд-т у и z:
Рассмотрим несколько задач на координаты точек.
Задание. Найдите коорд-ты середины отрезка, соединяющего точки А(3; 7; 12) и В(1; 5; – 4).
Решение. Просто используем только что выведенные формулы. Середину также обозначаем буквой М:
Задание. Известно, что K середина отрезка CD. Даны координаты точек С и K: С(12; 9; – 3) и K(15; 7; 3). Найдите коорд-ты D.
Решение. Сначала запишем формулу для коорд-ты х:
Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.
Исходные данные: прямоугольная декартова система координат , точки с заданными координатами и . Точка – середина отрезка .
Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: . Точка в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов и , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:
Следовательно, точка имеет координаты:
По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:
Середина отрезка на плоскости
Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами и . Точка – середина отрезка . Необходимо определить координаты и для точки .
Возьмем для анализа случай, когда точки и не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. и — проекции точек , и на оси координат (прямые и ).
Согласно построению прямые параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства следуют равенства: и , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка – середина отрезка , а – середина отрезка . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:
и
Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки и лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:
Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка на плоскости с координатами концов и определяются как:
Как построить середину отрезка с помощью циркуля и линейки?
Еще можно построить середину отрезка с помощью циркуля, линейки. Сделать это намного проще, чем в предыдущем варианте. Вам не понадобится рисовать множество окружностей разного диаметра, а достаточно построить лишь две одинаковые, а после провести перпендикуляр через точки пересечения с линиями окружности. Еще этот перпендикуляр называют серединным, что означает прямую, которую проводят под углом 90 градусов к отрезку.
Далее будет представлен мастер-класс на эту тему в подробностях и наглядно:
- Нарисуйте нужный отрезок на листке в клеточку, так вам удобнее будет разобраться в данной теме.
- Возьмите циркуль и нарисуйте две окружности с радиусом большим, чем середина отрезка или радиусом с длину отрезка – нет особой надобности рисовать слишком большие окружности, особенно, если отрезок большой длины.

- На рисунке выше видно, что окружности образуют две точки пересечения (вверху и внизу). Теперь понадобится линейка. Соедините эти две точки серединным перпендикуляром. Точка пересечения линии и отрезка и будет серединой.

Итак, среднюю точку отрезка нашли, теперь еще и не помешает доказать, что именно CD – срединный перпендикуляр, и он делит отрезок пополам. Это сделать просто. Ведь две окружности, что образуют линию, имеют одинаковый радиус, диаметр. А у окружностей все точки на линии одинаково удалены от ее центра. Значит точки C и D также находятся на одинаковых расстояниях от точек A и B. Прямая которая соединяет точки D и C может быть лишь одна в плоскости. И точка пересечения на отрезке находится на одном и том же расстоянии. Все это и требовалось прояснить.