Середина отрезка. Координаты середины отрезка

Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Правила нахождения координат середины отрезка, формулы

Середина отрезка на координатной прямой

Предположим, что несовпадающие точки A и B лежат на координатной прямая Ох. Известно, что A и B соответствуют действительные числа x_A и x_B, а точка С делит AB пополам. Определите координату x_C, соответствующую С. 

Так как C — это середина AB, то справедливо следующее равенство:

\(\left|AC\right|=\left|CB\right|\)

Вычислим расстояние между A и C, а также между C и B. Для этого определим модуль разницы их координат. На математическом языке это будет иметь вид:

\(\left|AC\right|=\left|CB\right|\Leftrightarrow\left|x_C-x_A\right|=\left|x_B-x_C\right|\)

Опустим знак модуля и получим справедливость двух выражений:

\(x_C-x_A=x_B-x_C\)

\(x_C-x_A=-\left(x_B-x_C\right)\)

Исходя из первого равенства, получим формулу нахождения x_C, согласно которой координата точки С равна половине суммы координат A и B:

\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)

Следствием второго равенства будет следующее утверждение: 

\(x_A=x_B\)

Это противоречит заданным условиям, следовательно, формула определения координат середины отрезка выглядит так:

\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)

Середина отрезка на плоскости

В декартовой системе координат Oxy расположены две точки A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B), которые не совпадают между собой. Точка C является центром AB. Необходимо произвести вычисление координат x_C и y_C, соответствующих С.

Пусть произвольные точки А и В лежат на одной координатной прямой, а также не принадлежат прямым, располагающимся перпендикулярно к оси абсцисс или ординат. Опустим от заданных точек A, B, C перпендикуляры на ось x на ось y. Полученные точки пересечения с осями координат A_x, A_y; B_x, B_y; C_x, C_y — это проекции исходных точек.

По построению прямые AA_x, BB_x, CC_x относительно друг друга находятся параллельно. Прямые AA_y, BB_y, CC_y не пересекаются, то есть являются параллельными. Согласно равенству AB=BC, далее применим теорему Фалеса и получим:

\(A_xC_x=C_xB_x\)

\(A_yC_y=C_yB_y\)

Это значит, что C_x и C_y являются серединами отрезков A_xB_x и A_yB_y соответственно. Теперь воспользуемся формулой определения координат середины отрезка на координатной прямой и получим:

\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)

\(y_C=\frac{y_A+y_B}2\)

Данные формулы подходят для вычисления координат середины отрезка в случае его расположения на осях абсцисс и ординат, а также при перпендикулярности одной из них. Следовательно, координаты центра отрезка AB, находящегося в плоскости и ограниченного точками A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B), вычисляются следующим образом:

\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2\right)\)

Середина отрезка в пространстве

Допустим, что в трехмерной системе координат Oxyz любые две точки с соответствующими им координатами A(x_A, y_A, z_A) и B(x_B, y_B, z_B). C(x_C, y_C, z_C) — это центр АВ. Задание заключается в том, чтобы определить x_C, y_C, z_C.

Проведем от исходных точек перпендикуляры к прямым Ox, Oy и Oz. Образовавшиеся точки пересечения с координатными осями — A_x, A_y, A_z; B_x, B_y, B_z;C_x, C_y, C_z — проекции точек A, B, C на них.

Воспользуемся теоремой Фалеса:

\(\left|A_xC_x\right|=\left|C_xB_x\right|\)

\(\left|A_yC_y\right|=\left|C_yB_y\right|\)

\(\left|A_zC_z\right|=\left|C_zB_z\right|\)

Исходя из полученных равенств следует, что C_x, C_y, C_z — делят A_xB_x, A_yB_y, A_zB_z пополам, то есть являются серединами перечисленных отрезков. Значит, для определения координат центра AB с концами A(x_A,y_A,z_A) и B(x_B,y_B,z_B) используем формулу:

\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2,\;\frac{z_A+z_B}2\right)\)

Видео

Координаты середины отрезка

Пусть в пространстве есть отрезок АВ, и координаты его концов известны. Точка М – середина этого отрезка. Как вычислить ее координаты? Рассмотрим взаимосвязь векторов АМ, МВ и АВ:

Раз М – середина АВ, то вектора АМ и МВ имеют равные длины, и при этом они находятся на одной прямой. Значит, эти вектора равны и потому у них одинаковые коорд-ты:

Аналогично можно получить аналогичные формулы для коорд-т у и z:

Рассмотрим несколько задач на координаты точек.

Задание. Найдите коорд-ты середины отрезка, соединяющего точки А(3; 7; 12) и В(1; 5; – 4).

Решение. Просто используем только что выведенные формулы. Середину также обозначаем буквой М:

Задание. Известно, что K середина отрезка CD. Даны координаты точек С и K: С(12; 9; – 3) и K(15; 7; 3). Найдите коорд-ты D.

Решение. Сначала запишем формулу для коорд-ты х:

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат $Oxy$, точки с заданными координатами $A(x_A,y_A)$ и $B(x_B, x_B)$ . Точка $C$ – середина отрезка $AB$.

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: $\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}·\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$ . Точка $C$ в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: $\overrightarrow{OA}=(x_A, y_A), \overrightarrow{OB}=(x_B,y_B)$ . Выполним некоторые операции над векторами в координатах  и получим: 

$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}·\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$

Следовательно, точка $C$ имеет координаты:

$\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

$C(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2})$

Середина отрезка на плоскости

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости $Оxy$, две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами $A\left(x_A, y_A\right)$ и  $B\left(x_B, y_B\right)$ . Точка $C$ – середина отрезка $AB$. Необходимо определить координаты $x_C$ и $y_C$ для точки $C$.

Возьмем для анализа случай, когда точки $A$ и $B$ не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей.$A_x, A_y ; B_x, B_y$ и $C_x ,C_y$ — проекции точек $A$, $B$ и $C$ на оси координат (прямые $Ох$и $Оy$).

Согласно построению прямые $A{A}_x, B{B}_x, C{C}_x$ параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства $АС = СВ$ следуют равенства: ${А}_x{С}_x = {С}_x{В}_x$ и ${А}_y{С}_y = {С}_y{В}_y$, и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка ${С}_x$ – середина отрезка ${А}_x{В}_x$, а ${С}_y$ – середина отрезка ${А}_y{В}_y$. И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

$x_C=\frac{x_A+x_B}{2}$ и $y_C=\frac{y_A+y_B}{2}$

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки $A$ и $B$ лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка $AB$ на плоскости с координатами концов $A (x_A,y_A)$ и $B (x_B, y_B)$ определяются как:

$(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})$

Как построить середину отрезка с помощью циркуля и линейки?

Еще можно построить середину отрезка с помощью циркуля, линейки. Сделать это намного проще, чем в предыдущем варианте. Вам не понадобится рисовать множество окружностей разного диаметра, а достаточно построить лишь две одинаковые, а после провести перпендикуляр через точки пересечения с линиями окружности. Еще этот перпендикуляр называют серединным, что означает прямую, которую проводят под углом 90 градусов к отрезку.

Далее будет представлен мастер-класс на эту тему в подробностях и наглядно:

• Нарисуйте нужный отрезок на листке в клеточку, так вам удобнее будет разобраться в данной теме.
• Возьмите циркуль и нарисуйте две окружности с радиусом большим, чем середина отрезка или радиусом с длину отрезка – нет особой надобности рисовать слишком большие окружности, особенно, если отрезок большой длины.

• На рисунке выше видно, что окружности образуют две точки пересечения (вверху и внизу). Теперь понадобится линейка. Соедините эти две точки серединным перпендикуляром. Точка пересечения линии и отрезка и будет серединой.

Итак, среднюю точку отрезка нашли, теперь еще и не помешает доказать, что именно CD – срединный перпендикуляр, и он делит отрезок пополам. Это сделать просто. Ведь две окружности, что образуют линию, имеют одинаковый радиус, диаметр. А у окружностей все точки на линии одинаково удалены от ее центра. Значит точки C и D также находятся на одинаковых расстояниях от точек A и B. Прямая которая соединяет точки D и C может быть лишь одна в плоскости. И точка пересечения на отрезке находится на одном и том же расстоянии. Все это и требовалось прояснить.

Теги