Содержание материала
Решение задачи Коши онлайн
UPD: Теперь вы можете вводить условия задачи Коши прямо в форму:
Рассмотрим пример решения задачи Коши с помощью онлайн калькулятора "".
Внимание! Следуя этому примеру и подробно и внимательно читая вы сможете решить и свою задачу, просто следуя тем же шагам!
Возьмём задачу из контрольной "Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка":
Для того, чтобы решить данную задачу откройте сервис решения дифференциальных уравнений онлайн
и введите в форму левую часть уравнения y' — y/x
а в правую часть уравнения: -lnx/x
как на картинке:
Нажимаем кнопку "Решить дифференциальное уравнение!"
Видим ответ для этого дифф. ур-ния:
Но как вы знаете, это ещё не решение задачи Коши, это всего лишь решение дифференциального уравнения.
Теперь по начальным условиям y(1) = 1 надо найти C1.
Для этого воспользуемся сервисом по решению обычных уравнений онлайн
Вобъём в форму обычных уравнений в правую часть уравнения c*x + log(x) + 1, а в левую y
А также укажем, что уравнение с неизвестной c=C1
На рис. всё это видно:
Нажимаем кнопку "Решить уравнение!"
Получаем ответ для C1
Но и это ещё не всё.
Надо указать, что y = 1 и x = 1 (т.к. y(1)=1). Подставляем по той же ссылке как на рис. ниже:
Нажимаем кнопку "Обновить"
И получаем окончательный ответ для C1:
C1 = c = 0
Подставляем это C1 в решение дифф. уравнения и мы получим решение нашей задачи Коши:
Тэги: уравнение
Применение интеграла Дюамеля и теоремы Бореля
Рассмотрим задачу решения дифференциального уравнения (5.24) с нулевыми начальными условиями:
(5.28)
Рассмотрим два способа ее решения, применение которых не требует нахождения изображения правой части 
дифференциального уравнения.
Первый способ. Наряду с уравнением (5.24) рассмотрим уравнение, получающееся из него при 
, с нулевыми начальными условиями, т.е.
(5.29)
Решением уравнения (5.29) является функция 
, которая называется единичной переходной функцией.
Применим к задачам (5.24), (5.28) и (5.29) алгоритм решения задачи Коши, описанный в данном разделе.
Перейдем от оригиналов к изображениям:
Так как начальные условия нулевые, то 
. В результате получаем уравнения в изображениях, соответствующие уравнениям (5.24) и (5.29):
, где 
— характеристический многочлен.Исключая 
, находим 
. Используя интеграл Дюамеля (5.17), можно найти оригинал
Так как в силу (5.29) 
, то окончательно получаем
(5.30)
На основании (5.30) можно сформулировать алгоритм решения задачи Коши:
(5.31)
Видео
Алгоритм нахождения
Пусть имеется функция у’ = 2 * √ |y| и условие что y (0) = 0. Необходимо её исследовать. Тут можно заметить, что в этом случае функция зависит только от игрека и условию не удовлетворяет. В окрестностях точки с координатами (0, 0) она не удовлетворяет условию, так как любая окрестность захватывает ноль, а у корня квадратного по игреку будет бесконечная производная.
Это приводит не к единственности получения результатов. Так, у уравнения есть два решения: y1 тождественный нулю; y2 равняется x2. Согласно условию, игрек стоит по модулю, точнее, можно сказать, что для отрицательных значений икс будет меньше ноля, а положительных — больше.
Главный же вопрос заключается в продолжаемости анализа. Доказывается возможность простым построением решения с использованием специальных условий. В итоге должна быть найдена окрестность в точке x0. То есть берётся уравнение и точка с начальными координатами, затем выясняется, что в окрестности выполнены условия теоремы и строится решение.
Затем исследуется другая точка и изучается структура её окрестности. Например, обнаруживается, что условия существования единственности выполняются. Согласно теореме, тогда можно будет строить решение, где в качестве начальной точки будет взята любая координата. Другими словами, получается более широкое решение. Поэтому возникает вопрос, насколько можно приблизить точность ответа. Практические примеры показывают, что иногда можно двигаться до бесконечности, а в некоторых случаях сделать не более трёх шагов.
Если есть два уравнения y’ = f (x, y); y (x0) = y0 имеющие два решения: y1 (x), x Є I1 (эX), y2 (x), x єI2 (єX0). Тогда можно утверждать, что игрек два будет продолжением решения y1 (x) если в I2 входит I1, а y2 (x) равняется y1 (x) для любого икс из интервала I1. Следует учесть, что в этом определении в качестве областей функции всегда рассматривается интервал.
В изучении исследуются и матричные функциональные системы, состоящие из нескольких переменных A (z 1, z 2, …, zn). При этом z являются вещественными, а элементы матрицы могут быть как вещественными, так и комплексными. Исходя из этого даётся определение того, что функция, описываемая матрицей, непрерывна тогда, когда все элементы непрерывны в точке или на некотором множестве.
При определении используют численные и векторные функции от аргумента: y = (x), где y — это столбец от набора игреков, а икс со штрихом — от набора иксов. Таким образом, обобщённым решением будет такое действие, которое не будет иметь нетривиального продолжения, то есть вторые интервалы содержать первые.
Использование онлайн-калькулятора
Часто решение задач по рассматриваемой теме связано с большими трудозатратами. Это касается времени и повышенного внимания. На практике не всегда получается правильно применить алгоритм и избежать ошибок. Поэтому имеет смысл для сложных заданий использовать онлайн-калькулятор. Решения на задачу Коши с его помощью доступны любому заинтересованному, имеющему доступ к интернету и устройство, поддерживающее работу веб-обозревателя.