Решение кубических уравнений с примерами решения

История и формулировки

Кубические уравнения составлялись ещё в Древней Греции и Египте. Археологами были найдены клинописные таблицы XVI века до нашей эры, содержащие описание возможного их решения. Вычислением кубов занимался Гиппократ, пытавшийся свести задачу к нахождению отрезков с помощью чертёжных инструментов. Архимед использовал для поиска ответа пересечение двух конусов.

Впервые методы решения такого рода уравнений были описаны в китайском учебнике «Математика в девяти книгах», составленном во втором столетии до нашей эры. В седьмом веке Омар Хайям на основании своих работ приходит к выводу, что решение уравнений третьей степени может иметь более одного ответа.

Математик Шараф ад-Дин публикует тракт об уравнениях, в котором описывает восемь различных типов кубических выражений, имеющих положительное решение. В своих вычислениях он использует численную аппроксимацию. Учёный не только разработал подход для решения с использованием производной функции и экстремумов, но и понял важность дискриминанта многочлена при нахождении кубов.

В 1530 году итальянский математик Никколо Тарталья разрабатывает методику решения, которой он после поделился с Джероламо Кардано. Согласно этому способу нужно было извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Параллельно с этими исследованиями, основоположник символической алгебры Франсуа Виет, предлагает свой способ решения кубического равенства с тремя корнями. Позднее его работу описал и обосновал Рене Декарт.

Уравнением третьей степени называют выражение вида: a*y ³ + d*y ² + c*y + n = 0. В математике оно называется кососимметрическим. Число y, значение которого необходимо найти, при подстановке превращает формулу в тождество. Называется оно корнем уравнения или просто решением. Кроме этого, y ещё является и корнем многочлена куба.

Таким образом, в кубических уравнениях стоит только одна переменная в третьей степени. Они всегда имеют три корня. При этом ответы могут быть равны друг другу и даже быть комплексными (но не более двух).

Видео

Использование дискриминанта

Дискриминант степенного выражения представляет произведение квадратов разностей корней в различных сочетаниях. Другими словами, берут пару, состоящую из любых корней уравнения, вычитают друг из друга и возводят в квадрат. Это и будет один множитель. Затем берут другую пару и повторяют действия. Таким образом, перебирают все варианты.

При решении кубических равенств используют значения коэффициентов. Например, для уравнения y ³ — 3* y ² + 3* y — 1, они будут равны: a = 1, d = -3, c = 3, n = -1. Затем вычисляют дельта нулевое. Это ключевая величина, которая после подставляется в формулу. В примере, Δ0 = d ^{2 —} 3 * a * c, определяют как (-3) ² — 3 * (1) * (3) = 9 − 3 * 3 = 0 .

Затем находят дельта один. Δ1 = 2 * d ³ — 9 * a * d * c + 27 * a ² * n. Подставив значения в формулу, вычисляют Δ1:

2 (-3) ³ — 9 (1)(-3)*(3) + 27 (1) ² * (-1) = 2 (-27) — 9 (-9) + 27 (-1) = -54 + 81 — 27 = 81 − 81 = 0 = Δ 1.

Используя найденное, по аналогии с квадратичным равенством находят дискриминант: d ² — 4 * a * c. Применительно к кубическому виду применяется правило, что показатель отрицательный, когда уравнение может иметь только одно решение. Если же его значение равно нулю — одно или два. Уравнение кубического вида всегда должно иметь хотя бы одно решение, так как его график должен проходить через ось икс.

Так как в примере дельта-ноль и один равны нулю, то можно использовать следующее выражение:

• Δ1 ² — 4 * Δ0 ³ / — 27 *a ²;
• (0) ² — 4 * (0) ³ / — 27 * (1) ²;
• (0−0) / 27;
• Δ = 0.

Исходя из этого, уравнение имеет два решения. Вычислив С, можно определить возможные решения уравнения. Заменив по мере необходимости дельты, решается равенство:

C = ((Δ 1 ² — 4 Δ 0 ³ ) +Δ) / 2) ^½ = (((0 — 0) + 0)/2) ^½ = 0.

Корни куба определяются по формуле: u ⁿ C + Δ0/(u ⁿ C)) / 3*a, где u = (-1 + √(-3))/2, а n равно одному, двум или трём. Если подставить эти значения в равенство, и оно будет верным, то эта цифра и является возможным решением уравнения. Этот способ показательный, но довольно сложный. Но если его понять, то проблем с решением уравнений любой сложности возникнуть не должно.

Пример решения кубического уравнения

      Пример. Решить уравнение

x3 – 6x2 – 6x – 2 = 0.

(13)

      Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

x = y + 2.

(14)

      Тогда получим

x³ – 6x² – 6x – 2 == (y + 2)³– 6(y + 2)² –– 6(y + 2) – 2 == y³ + 6y² + 12y + 8 – 6y² –– 24y – 24 – 6y – 12 – 2 == y³ – 18y – 30.

      Следовательно, уравнение (13) принимает вид

y3 – 18y – 30 = 0.

(15)

      Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

(16)

      Тогда поскольку

то уравнение (15) примет вид

(17)

      Далее из (17) получаем:

      Отсюда по формуле (16) получаем:

(18)

      Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

или использовали формулу

      Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

      Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

      Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.

      Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Теги