Равнобедренный треугольник. Вычисление длин, углов. Синус угла

Равнобедренный треугольник коротко о главном

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого есть две равные стороны.

  • \( \displaystyle AB=BC\) – боковые стороны
  • \( \displaystyle AC\) – основание

Свойства равнобедренного треугольника

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \displaystyle \angle A\ =\angle C\);

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой: \( \displaystyle BH\) — высота, медиана и биссектриса.

Признаки равнобедренного треугольника

Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный;

Если в некотором треугольнике совпадают высота и биссектриса или высота и медиана или медиана и биссектриса, проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный. 

Видео

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

  1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
  2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Доказательство равенства треугольников

Посмотри внимательно, у нас есть:

  • \( \displaystyle \underbrace{AB}_{гипотенуза \ в\ \Delta ABH}=\underbrace{BC}_{гипотенуза\ в\ \Delta СBH}\)
  • \( \displaystyle BH\text{ }=\text{ }BH\) (ещё говорят, \( \displaystyle BH\)— общая)

И, значит, \( \displaystyle AH\text{ }=\text{ }CH\)!

Почему? 

Да мы просто найдём и \( \displaystyle AH\), и \( \displaystyle CH\) из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что \( \displaystyle AB=BC\))\( \displaystyle AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}\)\( \displaystyle CH=\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{H}^{2}}}\)

Удостоверились? Ну вот, теперь у нас\( \displaystyle \begin{array}{l}AB=BC\\BH=BH\\AH=CH\end{array}\)А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \displaystyle \angle A=\angle C\);
  • Высота, проведенная к основанию \( \displaystyle (ВH)\), совпадает с медианой и биссектрисой
  • \( \displaystyle AH=CH\)
  • \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\).

Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – делит угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник.

Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать, равнобедренный ли треугольник?

То есть, как говорят математики, каковыпризнаки равнобедренного треугольника?

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, A

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Ответ: ∠B = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

  1. Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

  2. А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

  3. Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Ответ: 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Теги

Популярные:

Последние:

Adblock
detector