Содержание материала
Свойства трапеции
Рассмотрим некоторые свойства трапеции.
1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
Так как то
(как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично
2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.
Поскольку то
Аналогично
Следовательно, трапеция — выпуклый четырехугольник.
Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.
Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 — высота трапеции
Трапецию называют прямоугольной, если один из ее углов -прямой. На рисунке 68 — прямоугольная трапеция
Очевидно, что
является меньшей боковой стороной прямоугольной трапеции и ее высотой.
Трапецию называют равнобокой, если ее боковые стороны равны. На рисунке 69 — равнобокая трапеция
Свойства средней линии трапеции
Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.
- Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2.
- Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.
Видео
Стороны равнобедренной трапеции
Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α
b = a — 2h ctg α = a — 2c cos α
c = | h | = | a — b |
sin α | 2 cos α |
a = | d12 — c2 | b = | d12 — c2 | c = √d12 — ab |
b | a |
a = | 2S | — b b = | 2S | — a |
h | h |
с = | S |
m sin α |
5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе: с = 2S (a + b ) sin α
Свойства трапеции, вписанной в окружность
Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.
- Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
- Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
- Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
- Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ.
- Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
- Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*SАМЕ.
Виды трапеций:
Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Рис. 2. Равнобедренная трапеция
Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.
Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.
Рис. 3. Прямоугольная трапеция
Свойства равнобокой трапеции
Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции.
1. В равнобокой трапеции углы при основании равны.
Доказательство:
1) Пусть в трапеции Проведем высоты трапеции
и
из вершин ее тупых углов
и
(рис. 70). Получили прямоугольник
Поэтому
2) (по катету и гипотенузе). Поэтому
3) Также Но
поэтому
и
Следовательно,
2. Диагонали равнобокой трапеции равны.
Доказательство:
Рассмотрим рисунок 71. (как углы при основании равнобокой трапеции),
— общая сторона треугольников
и
Поэтому
(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно,
Пример:
— точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции
с основаниями
и
(рис. 71). Докажите, что
Доказательство:
(доказано выше). Поэтому
По признаку равнобедренного треугольника
— равнобедренный. Поэтому
Поскольку
и
то
(так как
).
Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая.
Доказательство:
1) Пусть в углы при большем основании
равны (рис. 70), то есть
Проведем высоты
и
они равны.
2) Тогда (по катету и противолежащему углу). Следовательно,
Таким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать.
А еще раньше…
Термин «трапеция» греческого происхождения (по-гречески «трапед-зион» означает «столик», в частности столик для обеда; слова «трапеция» и «трапеза» — однокоренные).
В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом.
Трапеция в современной трактовке впервые встречается у древнегреческого математика Посидония (I в.), но начиная только с XVIII в. этот термин стал общепринятым для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.