Расстояние между двумя точками на плоскости

Шаги

4. Читайте также: Равнобедренный треугольник. Вычисление длин, углов. Синус угла
   4

   Возведите оба значения в квадрат. Необходимо по отдельности возвести в квадрат расстояние вдоль оси x, равное (x2 — x1), и расстояние вдоль оси y, составляющее (y2 — y1):

5. 5

   Сложите полученные значения. В результате вы найдете квадрат диагонали, то есть расстояния между двумя точками. В нашем примере для точек с координатами (3,2) и (7,8) находим: (7 — 3) в квадрате равно 36, и (8 — 2) в квадрате равно 16. Складывая, получаем 36 + 16 = 52.

   Читайте также: Как найти и удалить дубликаты в Excel

Видео

Расстояние между точками в пространстве

Исходные данные: прямоугольная система координат $Oxyz$ с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$ . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки $A$ и $B$ не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки $A$ и $B$ плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: $A_x, A_y, A_z, B_x, B_y, B_z$

Расстояние между точками $A$ и $B$ являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: $\left(A_x{B}_x\right), \left(A_y{B}_y\right)$ и $\left(A_z{B}_z\right)$

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: ${\left(AB\right)}^2={\left(A_x{B}_x\right)}^2+{\left(A_y{B}_y\right)}^2+{\left(A_z{B}_z\right)}^2$

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

$\left(A_x{B}_x\right)=\left(x_B—x_A\right), \left(A_y{B}_y\right)=\left(y_B—y_A\right), \left(A_z{B}_z\right)=\left(z_B—z_A\right)$

Преобразуем выражение:

${\left(AB\right)}^2={\left(A_x{B}_x\right)}^2+{\left(A_y{B}_y\right)}^2+{\left(A_z{B}_z\right)}^2={\left(x_B—x_A\right)}^2+{\left(y_B—y_A\right)}^2+{\left(z_B—z_A\right)}^2==(x_B—x_A{)}^2+(y_B—y_A{)}^2+{\left(z_B—z_A\right)}^2$

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

$\left(AB\right)=\sqrt{{\left(x_B—x_A\right)}^2+{\left(y_B—y_A\right)}^2+(z_B—z_A{)}^2}$

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

— точки совпадают;

— лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Расстояние между двумя точками в пространстве

Нахождение расстояния между двумя точками в этом случае происходит аналогично предыдущему за исключением того, что координаты точки в пространстве задаются тремя числами, соответственно, в формулу нужно добавить еще и координату оси аппликат. Формула примет такой вид:

Расстояние между двумя точками в пространстве

$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$AB=(xB​−xA​)2+(yB​−yA​)2+(zB​−zA​)2​

Пример 3

Найти длину отрезка $FK$FK в пространстве, если координаты точек его концов таковы: $(-1;-1;8)$(−1;−1;8) и $(-3;6;)$(−3;6;). Ответ округлить до целого числа.

Решение

$F=(-1;-1;8)$F=(−1;−1;8) $K=(-3;6;)$K=(−3;6;)

$FK=\sqrt{(x_K-x_F{)}^2+(y_K-y_F{)}^2+(z_K-z_F{)}^2}=\sqrt{(-3-(-1){)}^2+(6-(-1){)}^2+(-8{)}^2}=\sqrt{117}\approx 10.8$FK=(xK​−xF​)2+(yK​−yF​)2+(zK​−zF​)2​=(−3−(−1))2+(6−(−1))2+(−8)2​=117​≈1.8

По условию задачи нам нужно округлить ответ до целого числа.

Ответ

10

Теги