Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В8 (2014)

Теорема синусов

Вы уже знаете, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Пусть

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу окружности, описан­ной около треугольника, т. е.

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, ВС =  — радиус его описанной окружности. Угол а может быть острым, тупым или прямым. Рассмотрим эти случаи отдельно.

1) Угол  острый (рис. 152, а). Проведя диаметр BD и отрезок DC, получим прямоугольный треугольник BCD, в котором  как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Заметим, что  как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Из прямоугольного треугольника BCD находим т. е.  откуда

2) Угол  тупой (рис. 152, б). Проведем диаметр BD и отрезок DC. В четырехугольнике ABDC по свойству вписанного четырехугольника  Из прямоугольного треугольника  как вписанный угол, опирающийся на диаметр)  Поскольку  то  откуда

3) Для  справедливость равенства  докажите самостоятельно, В силу доказанного  откуда

Теорема доказана.

Теорема синусов дает возможность решать широкий круг задач. Так, пропорция  позволяет решить две следующие задачи:

• зная две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них, найти синус угла, противолежащего другой стороне;
• зная два угла треугольника и сторону, противолежащую одному из этих углов, найти сторону, противолежащую другому углу.

С помощью формулы можно решить еще три задачи (рис. 153): 

• зная сторону треугольника и противолежащий ей угол, найти радиус окружности, описанной около треугольника;
• зная угол треугольника и радиус описанной окружности, найти сторону треугольника, противолежащую данному углу;
• зная сторону треугольника и радиус его описанной окружности, найти синус угла, противолежащего данной стороне.

Повторение

 

 

Пример:

В остроугольном треугольнике известны стороны  и угол  Найти два других угла  округлив их значения до 1°, и третью сторону треугольника, округлив ее длину до 0,1.

Решение:

По теореме синусов  откуда  При помощи калькулятора (таблиц). находим  Тогда  По теореме синусов  откуда

Ответ:  

Замечание. Если бы по условию треугольник был тупоугольным с тупым углом  то, зная  вначале мы нашли бы острый угол  А за­тем, используя формулу  получили бы, что  

Пример:

Доказать справедливость формулы площади треугольника  где  — его стороны, R — радиус описанной окружности.

Доказательство:

Воспользуемся известной формулой площади треугольника:  По теореме синусов  откуда  Тогда  Что и требовалось доказать.

Замечание. Выведенная формула позволяет найти радиус описанной окружности треугольника  

Пример:

Найти радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 10 и боковой стороной ВС =13 (рис. 154).

Решение:

Способ 1. Из формулы  следует, что  Найдем . Для этого в треугольнике АВС проведем высоту ВК, которая будет и медианой, откуда  Из по теореме Пифагора  откуда

Тогда Способ 2. Используем формулу  из которой Так как то Ответ:  

Замечание*. Напомним, что в главе II мы находили радиус R описанной окружности равнобедренного треугольника, проводя серединные перпендикуляры к его сторонам и используя подобие полученных прямоугольных треугольников. Также мы могли использовать формулу  где  — боковая сторона,  — высота, проведенная к основанию  

Заменив в формуле  получим  — формулу радиуса описанной окружности для произвольного треугольника. Итак, мы имеем четыре формулы для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника:

 

Примеры решения задач

Пример

Задание. Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен $45^{\circ}$, а противолежащий основанию угол равен $60^{\circ}$. Найдите сторону, противолежащую углу в $45^{\circ}$. Решение. Пусть искомая сторона — $x$ см. Тогда по теореме синусов имеем: $$\frac{10}{\sin 60^{\circ}}=\frac{x}{\sin 45^{\circ}} \Rightarrow x=\frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{10 \sqrt{6}}{3} (\mathrm{см})$$ Ответ.$\frac{10 \sqrt{6}}{3}(\mathrm{см})$

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут! Узнать стоимость

Пример

Задание. В треугольнике $A B C \quad \angle A=45^{\circ}, \angle C=15^{\circ},$ $B C=4 \sqrt{6}$. Найти $A C$ . Решение. Согласно теореме о сумме углов треугольника $$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ} \Rightarrow \angle B=180^{\circ}-45^{\circ}-15^{\circ}=$$ Сторону $AC$ найдем по теореме синусов: $$\frac{A C}{\sin \angle B}=\frac{B C}{\sin \angle A} \Rightarrow \frac{A C}{\sin \angle 120^{\circ}}=\frac{4 \sqrt{6}}{\sin \angle 45^{\circ}} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \frac{A C}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4 \sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow A C=\frac{4 \sqrt{18}}{\sqrt{2}}=4 \cdot \sqrt{9}=12$$ Ответ. $A C=12$

Видео

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

α = 2R sinα

Следовательно: R = α/2 sinα

Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

Следовательно: R = α/2 sinα

Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

• sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
• sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
• sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

3. Угол ∠А = 90°.

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Следовательно:

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Вычислить, найти сторону треугольника по теореме синусов

Пусть известно: две стороны a, b и угол между ними γ. Нужно найти сторону c и недостающие углы α и β. Используем то, что сумма углов треугольника 180°

\[ β = (180° — (α + γ)) \] \[ \frac{a}{\sin(α)} = \frac{b}{\sin(180° — (α + γ))} \]

По формулам приведения

\[ \sin(180° — (α + γ)) = \sin(α + γ) \]

Подставим в (4)

\[ \frac{a}{\sin(α)} = \frac{b}{\sin(α + γ)} \]

по формуле синуса суммы углов разделим углы

\[ \sin(α + γ) = \sin(α)\cos(γ) + \cos(α)\sin(γ) \]

Получим

\[ \frac{b}{a} = \frac{\sin(α)\cos(γ) + \cos(α)\sin(γ)}{\sin(α)} \] \[ \frac{b}{a} = \cos(γ) + \ctg(α)\sin(γ) \]

Отсюда найдутся все углы треугольника α и β (см. формула (3)):

\[ \ctg(α) = \frac{\Large\frac{b}{a}\normalsize — \cos(γ)}{\sin(γ)} \]

Далее теорема синусов позволит найти оставшуюся сторону c

\[ с = b\frac{\sin(γ)}{\sin(β)} = a\frac{\sin(γ)}{\sin(α)} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Одна из сторон треугольника равна 6 см, противолежащий угол равен , а один из прилежащих . Найти длину стороны, лежащей против угла в . Решение Воспользуемся рисунком 1 и введем следующие обозначения. Сторона см, , , – неизвестная сторона. Запишем для этих сторон и углов теорему синусов: Выразим из последнего равенства неизвестную сторону : Подставляя заданные значения сторон и углов, получим: (см) Ответ см

ПРИМЕР 2

Задание В треугольнике см. Найти радиус окружности, описанной около треугольника. Решение Из теоремы о сумме углов треугольника, найдем неизвестный угол треугольника: Подставляя значения известных углов, получим: Далее по расширенной теореме синусов Выразим из последнего равенства радиус описанной окружности Подставляя значения стороны и угла, получим (см) Ответ см

Теги