Содержание материала
- Формулы для прямоугольной трапеции
- Видео
- Какие обозначения приняты в представленных формулах?
- Какой формулой можно воспользоваться для расчета площади?
- Площадь трапеции
- Формулы определения площади трапеции:
- Примеры задач
- Как найти высоту трапеции
- Через стороны
- Через среднюю линию и площадь
- Через боковую сторону и угол
- Через диагонали, угол между ними и основания
- Через диагонали, угол и среднюю линию
- Через радиус вписанной окружности
- Вычислить высоту трапеции через среднюю линию и площадь
Формулы для прямоугольной трапеции

Видео
Какие обозначения приняты в представленных формулах?
Все величины, используемые в разных выражениях, которые описывают трапецию, удобно сразу оговорить и представить в таблице:
Величина | Ее обозначение |
a | большее основание |
b | меньшее основание прямоугольной трапеции |
c, h | перпендикулярная к основаниям боковая сторона, высота |
d | наклонная боковая сторона |
α | острый угол |
β | тупой угол |
м | средняя линия трапеции |
д1 | меньшая диагональ |
д2 | большая диагональ |
Какой формулой можно воспользоваться для расчета площади?
Той, что дана для произвольной трапеции. Только нужно учесть, что высотой является сторона, перпендикулярная к основаниям.
S = (a + b) * h / 2.
Эти величины не всегда даны явно. Поэтому чтобы вычислить площадь прямоугольной трапеции, потребуется выполнить некоторые математические выкладки.
Площадь трапеции
Формулы определения площади трапеции:
1. Формула площади через основания и высоту:
S = | ( a + b ) | · h |
2 |
3. Формула площади через диагонали и угол между ними:
S = | d 1 d 2 | · sin γ | = | d 1 d 2 | · sin δ |
2 | 2 |
4. Формула площади через четыре стороны:
S = | a + b | √ | c 2 — | ( | ( a — b ) 2 + c 2 — d 2 | ) | 2 |
2 | 2( a — b ) |
5. Формула Герона для трапеции
S = | a + b | √ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d ) |
| a — b | |
где
p = | a + b + c + d | — полупериметр трапеции. |
2 |
Примеры задач
Задание 1 Найдите высоту трапеции, если ее основания равны 9 и 6 см, а боковые стороны – 4 и 5 см.
Решение Т.к. у нас есть длины всех сторон, мы можем воспользоваться первой формулой для вычисления требуемого значения:
Кстати, т.к. высота равна одной из боковой сторон трапеции, значит она является прямоугольной.
Задание 2 Площадь трапеции равна 26 см 2 . Найдите ее высоту, если основания равны 10 и 3 см.
Решение В данном случае можно применить последнюю из рассмотренных формул:
Как найти высоту трапеции
Через стороны
Если нам известны стороны фигуры, мы можем найти ее высоту по формуле:
\(h=\sqrt{b^2-(\frac{{(a-d)}^2+d^2+c^2}{2\cdot(a-b)}})^2\)
Где h — высота, a — большее основание, b — меньшее основание, c и d — боковые стороны.
Через среднюю линию и площадь
Если в условии есть данные о величине средней линии и площади, можем использовать формулу:
\(h=\frac Sm\)
Где m — средняя линия трапеции.
Через боковую сторону и угол
Когда нам известна величина одной из боковых сторон и угол между этой стороной и большим основанием, используем формулу:
\(h=c\cdot\sin\left(\alpha\right)\)
Где \alpha — это угол между стороной c и большим основанием a.
Через диагонали, угол между ними и основания
Если нам известны длины обоих диагоналей трапеции, а также угол между ними, можем найти высоту следующим образом:
\(h=\frac{d_1d_2}{a+b}\cdot\sin\left(\gamma\right)\)
Где \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали трапеции, а \(\gamma\) — угол между ними.
Через диагонали, угол и среднюю линию
В том случае, если нам известны сразу длины диагоналей, угол между ними и величина средней линии, мы можем узнать высоту трапеции по формуле:
\(h=\frac{d_1d_2}{2m}\cdot\sin\left(\gamma\right)\)
Через радиус вписанной окружности
Если в трапецию можно вписать окружность, то ее высота будет равна диаметру этой окружности, то есть d=h. Другими словами, высота фигуры будет равна удвоенному радиусу вписанной в нее окружности:
\(h=2r\)
Где r — радиус выписанной окружности.
Вычислить высоту трапеции через среднюю линию и площадь
Вам нужно указать среднюю линию трапеции (m) и площадь трапеции (s).
Формула расчёта высоты трапеции через среднюю линию и площадь: h=s/m.
Площадь трапеции делим на среднюю линию.
Средняя линия трапеции (m) | |
Площадь трапеции (s) |