Содержание материала
Формула
Чтобы найти проекцию вектора $\bar{a}$ на вектор $\bar{b}$, надо скалярное произведение указанных векторов поделить на длину (модуль) вектора $\bar{b}$, то есть
$$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{b}|}$$
В случае если векторы заданы на плоскости и имеют координаты $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ и $\bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y}\right)$, то проекция вектора $\bar{a}$ на вектор $\bar{b}$ вычисляется по формуле:
$$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$
Если векторы заданы в пространстве, то есть имеют координаты \bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right) \text { и } \bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right), то проекция вектора $\bar{a}$ на вектор $\bar{b}$ вычисляется по формуле:
$$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$
О направлении
Направление – одна из важнейших характеристик движения.
Подумай, какие из этих величин являются просто числами, а какие тоже являются числами, но имеют еще и направление.
- сила;
- время;
- скорость;
- длина;
- перемещение;
- масса;
- температура;
Наверное, ты без труда заметил, что направление имеют сила, скорость, перемещение, а время, длина, масса и температура – это просто числа.
Так вот, «просто числа» — это скалярные величины (их также называют скалярами).
А «числа с направлением» — это векторные величины (их иногда называют векторы).
В физике существует множество скалярных и векторных величин.
Видео
Как обозначаются векторы?
Векторы принято обозначать специальным символом – стрелочкой над названием. Вот, например, вектор перемещения: \(\vec{S}\)
Значение вектора – это модуль вектора, то есть его длина.
Обозначить это можно двумя способами: \(\left| {\vec{S}} \right|\) или \(S\)
Примеры нахождения проекции вектора на вектор
Пример
Задание. Найти проекцию вектора $\bar{a}$ на вектор $\bar{b}$, если $\bar{a}=(-1 ; 0)$ и $\bar{b}=(3 ;-4)$ Решение. Для нахождения проекции вектора $\bar{a}$ на вектор $\bar{b}$, будем использовать формулу $$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$ Подставляя в неё координаты заданных векторов, получим: $$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{b}|}=\frac{-1 \cdot 3+0 \cdot(-4)}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{-3+0}{\sqrt{9+16}}=\frac{-3}{\sqrt{25}}=-\frac{3}{5}$$ Ответ. $Пр_{\bar{b}} \bar{a}=-\frac{3}{5}$
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут! Узнать стоимость
Пример
Задание. Найти проекцию вектора $\bar{a}=(-2 ; 3 ; 0)$ на вектор $\bar{b}=(-2 ; -1 ; 5)$ Решение. Подставляя координаты заданных векторов в формулу $$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$ получим: $$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|b|} =\frac{-2 \cdot(-2)+3 \cdot(-1)+0 \cdot 5}{\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+5^{2}}}=$$ $$=\frac{4-3+0}{\sqrt{4+1+25}}=\frac{1}{\sqrt{30}}$$ Ответ. $Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{1}{\sqrt{30}}$
Читать дальше: как найти длину вектора.